Enunciado

Use a tabela de integrais ao final do livro para calcular a integral do Exercício abaixo:

5-

∫ x 2 x - 3   d x

Passo 1

Observação: Algumas fórmulas não fora encontradas no livro conforme indica no enunciado, portante foi utilizado um outro método de resolução da integral.

Utilizando o método de substituição teremos:

u = 2 x - 3 ; d u = 2   ; d x = 1 d u = 1 2

Se u = 2 x - 3 então 2 x = u + 3   ,   x = u + 3 2

Substituindo:

∫ u + 3 2 ⋅ u   ⋅ 1 2 d u = ∫ u + 3 4 ⋅ u   d u = 1 4 ∫ u + 3   u   d u = 1 4 ∫ u u + 3 u   d u

Passo 2

Separando as integrais pela regra da cadeia:

1 4 ∫ u u   d u + 3 ∫ u   d u

Utilizando a propriedade dos radicais:

1 4 ∫ u ⋅ u 1 2   d u + 3 ∫ u 1 2   d u =   1 4 ∫ u 3 2   d u + 3 ∫ u 1 2   d u

Resolvendo as integrais:

1 4 u 3 2 + 1 3 2 + 1 + 3 u 1 2 + 1 1 2 + 1 + C    

Resolvendo temos:

1 4 u 5 2 5 2 + 3 u 3 2 3 2 + C = 1 4 2 u 5 5 + 3 2 u 3 3 + C

Organizando os termos e desenvolvendo os cálculos:

1 4 2 u 2 u 5 + 6 u u 3 + C = 1 4 2 u 2 u 5 + 2 u u

Multiplicando por 1 4

2 u 2 u 20 + 2 u u 4 + C = u 2 u 10 + u u 2 + C

Passo 3

Substituindo para u = 2 x - 3

( 2 x - 3 ) 2 2 x - 3 10 + ( 2 x - 3 ) 2 x - 3 2 + C = 2 x - 3 2 x - 3 2 2 x - 3 5 + 1 + C

Resposta

2 x - 3 2 x - 3 2 2 x - 3 5 + 1 + C

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