Enunciado

  1. Em cada parte, use uma integral definida para encontrar a área da região sob a curva y = f ( x ) acima do intervalo dado e verifique sua resposta usando uma fórmula apropriada de Geometria.
  1. f x = x ; [ 0,5 ]
  2. f x = 5   ; [ 3,9 ]
  3. f x = x + 3 ; [ - 1,2 ]

Passo 1

Vamos começar com a letra a), primeiro faremos pela integral definida.

Na letra a), estamos indo de x = 0 até x = 5 .

A = ∫ 0 5 ( x ) d x = x 2 2 5 0 = 25 2 - 0 = 25 2

Agora faremos pela área, mas antes precisamos desenhar o gráfico dessa função:

Essa figura é um triângulo retângulo!!

A área de um triângulo retângulo é dada por A = c a t 1 × c a t 2 2

O primeiro cateto vai de 0 até 5 , então mede 5

O segundo cateto vai de 0 até 5 , então mede 5

A área desse triângulo é então:

A = 5 × 5 2 = 2 5 2

E como calculado tanto o cálculo da integral por antiderivada quanto pela área têm valores iguais.

Passo 2

Faremos a mesma coisa na letra b)

Na letra b), estamos indo de x = 3 até x = 9 .

A = ∫ 3 9 ( 5 ) d x = 5 x 9 3 = 45 - 15 = 30

Agora faremos pela área, mas antes precisamos desenhar o gráfico dessa função entre os intervalos de x = 3 até x = 9 .

Essa figura é um retângulo de altura 5 c m .

A área de um retângulo é dada por A = b a s e   × a l t u r a

A base vai de 3   até 9 , então mede 6 .

O altura vai de 0   até 5 ,   então mede 5 .

A área desse triângulo é então:

A = 6 × 5 = 30

E como podemos perceber tanto o cálculo da integral por antiderivada quanto pela área têm valores iguais.

Passo 3

Igualmente para a letra c)

Na letra b), estamos indo de x = 1 até x = 3 .

A = ∫ - 1 2 ( x + 3 ) d x = x 2 2 + 3 x 2 - 1 = 4 2 + 3 × ( 2 ) - 1 2 + 3 × - 1 = 8 + 5 2 = 2 1 2

Agora faremos pela área, antes vamos desenhar o gráfico dessa função.

Essa figura é um trapézio

A área de um trapézio é dada por A = ( b a s e   m a i o r + b a s e   m e n o r ) × a l t u r a 2

A base maior vai de 0   até f 2 = 2 + 3 = 5 , então mede 5

A base menor vai de 0   até f - 1 = - 1 + 3 = 2 , então mede 2

O altura vai de - 1   até 2 ,   então mede 3 .

A área desse triângulo é então:

A = 5 + 2 × 3 2 = 21 2

E como podemos perceber tanto o cálculo da integral por antiderivada quanto pela área têm valores iguais.

Resposta

a) 25 2

b) 30

c) 21 2

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Nos exercícios 71 a 74, calcule a derivada.74) d d x ∫ 1 sec ⁡ x t 2 - 1d t 0x1 π 2
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78) (a) Ache o valor médio da função f definida por f x = 1 x 2 no intervalo [ 1 , r ] . (b) Se A for o valor médio encontrado na parte (a), ache lim r → ∞ ⁡ A .
80) Suponha que uma bola caia do repouso e que t s depois, sua distância orientada do ponto de partida seja s m e sua velocidade vm / s . Desprezando a resistência do ar, quando t= t 1 , s = s 1 e v =