Enunciado

Use o Teorema 6.3.2 para encontrar o comprimento do arco da curva y 3 = 8 x 2 do ponto ( 1 ,   2 ) ao ponto ( 27 ,   18 ) .

Passo 1

O exercício pede para acharmos o comprimento da curva y 3 = 8 x 2 de x = 1 até x = 27 usando a integração na variação x , isto é, a expressão da pelo teorema 6.3.2:

L = ∫ 1 27 1 + y ' 2   d x

Para isso, precisamos isolar y :

y = 2 x 2 / 3

Derivando com relação a x :

y ' = 2 3 ⋅ 2 x - 1 3 = 4 3 x 1 / 3

Assim,

1 + y ' 2 = 1 + 16 9 x 2 / 3 = 9 x 2 / 3 + 16 9 x 2 / 3

Portanto,

1 + y ' 2 = 9 x 2 / 3 + 16 3 x 1 / 3

Assim, temos que

L = 1 3 ∫ 1 27 9 x 2 / 3 + 16 x 1 / 3   d x

Passo 2

Para resolver essa integral, vamos fazer a substituição t = 9 x 2 / 3 + 16 . Assim,

d t = 2 3 ⋅ 9 x - 1 3 d x = 6 x 1 3   d x ⇒ d x x 1 3 = d t 6

Desta forma, mudando os limites de integração:

L = 1 3 ⋅ 1 6 ∫ 25 97 t   d t = 1 18 ∫ 25 97 t 1 / 2   d t

Agora podemos calcular a integral:

L = 1 18 2 3 t 3 2 25 97 = 1 27 97 3 2 - 5 3

Portanto,

L = 1 27 97 97 - 125

Resposta

1 27 97 97 - 125

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