Enunciado

Use o Teorema da Comparação para determinar se a integral é convergente ou divergente:

∫ 0 π / 2   d x x sen ⁡ x

Passo 1

Vamos tentar achar uma função mais simples que seja sempre menor do que a do enunciado no intervalo 0 ≤ x ≤ π / 2 :

f x ≤ 1 x sen ⁡ x

Perceba que nesse intervalo, a função seno está sempre entre 0 e 1 . Isso quer dizer que o denominador vai ser sempre menor ou igual a x .

Um denominador menor faz com que a função cresça, então:

1 x ≤ 1 x sen ⁡ x

Passo 2

Beleza, vamos avaliar a integral dessa função menor:

I = ∫ 0 π / 2   d x x

A integral indefinida é l n ⁡ ( x ) . Vamos subtituir os limites de integração:

I = ln ⁡ π 2 - lim x → 0 ⁡ l n ⁡ ( x )

O logaritmo tende ao infinito quando x tende a zero. Então essa função não converge.

Pelo teorema da comparação, se essa função não converge, as funções que são maiores do que ela nesse intervalo também não convergem.

Ou seja, a integral do enunciado diverge.

Resposta

A integral diverge.

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Faça a substituição u e calcule a integral definida resultante. ∫ 0 + ∞ e - x 1 - e - x d x ; u = 1 - e - x [Nota: u → 1 quando x → + ∞ ]
Calcule as integrais que convirjam. ∫ 12 + ∞ d x x x + 4 [Nota: u → + ∞ quando x → + ∞ ]
Faça a substituição u e calcule a integral definida resultante. ∫ 0 + ∞ e - x 1 - e - x d x ; u = e - x
Calcule ∫ 0 1 1 xd x
Calcule ∫ 0 1 1 1 - x 2d x