Enunciado

Ache as aproximações T n , M n e S n para n = 6 e 12 . Então calcule os erros correspondentes E T , E M e E S . (Arredonde seus resultados para seis casas decimais. Você pode usar o comando soma em um sistema algébrico computacional.) Quais observações você pode fazer? Em particular, o que acontece aos erros quando n é dobrado?

∫ 1 4 x   d x

Passo 1

Vamos começar calculando a integral normalmente:

∫ 1 4 x   d x = 2 3 ( 4 ) 3 / 2 - 2 3 1 3 2 = 4,666667

E agora vamos usar as fórmulas para cada uma das aproximações no nosso intervalo de comprimento 3 .

Passo 2

Primeiro vamos usar n = 6 , nesse caso, cada um dos intervalos será:

Δ x = 3 n = 3 6 = 1 2

Na aproximação pelo ponto médio, começamos em 1 + Δ x 2 = 5 / 4 , e vamos somando Δ x :

M 6 = 1 2 5 / 4   + 7 / 4 + 9 / 4 + … + 3,75 ≅ 4,669245

Na aproximação trapezoidal, colocamos pesos nos termos do meio, e dividimos tudo por dois. Em seguida vamos desde o início até o fim do intervalo em passos de Δ x :

T 6 = 1 ( 2 ) ( 2 ) 1 + 2 3 / 2 + 2 2 + … + 4 = 4,661488

E paa o método de Simpson, S 6 , colocamos pesos alternados de 4 e 2 , seguindo uma ordem como essa:

S 6 = 1 ( 2 ) ( 3 ) 1 + 4 1,5 + 2 2 + … 4 3,5 + 4 ≅ 4,666563

E então os erros:

E T = 4,666667 - 4,661488 = 0,005178

E M = 4,666667 - 4,669245 = - 0,002578

E S = 4,6666667 - 4,666563 ≅ 0,000104

Passo 3

Agora vamos fazer praticamente a mesma coisa para n = 12 . Como o enunciado diz que podemos usar um computador, vamos apenas deixar as fórmulas indicadas aqui:

n = 12         ⇒           Δ x = 3 12 = 1 4

M 12 = 1 2 9 / 8   + 11 / 8 + 13 / 8 + … + 31 / 8 ≅ 4,667316

T 12 = 1 ( 4 ) ( 2 ) 1 + 2 5 / 4 + 2 6 / 4 + … + 4 = 4,665367

S 12 = 1 ( 2 ) ( 3 ) 1 + 4 1,25 + 2 1,5 + … 4 3,75 + 4 ≅ 4,666659

E então os erros são:

E T = 0,001300

E M = - 0,00649

E S = 0,000007

Passo 4

Que observações podemos fazer sobre os erros?

Em primeiro lugar, os erros E T e E M tem sinais opostos, e diminuem por um fator 4 quando n dobra..

O erro da regra de Simpson é muito menor que o das outroas, e cai por um fator próximo de 16 quando n dobra.

Resposta

Valores podem ser calculados computacionalmente. Os erros da régua trapezoidal e do ponto médio caem por um fator 4 quando n dobra, e o erro da regra de Simpson cai por um fator 16 .

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