Enunciado

Use o Teorema da Divergência para calcular a integral de superfície ∫ S ∫ F .   d S ; ou seja calcule o fluxo de F através de S .

16-

F x , y , z = x 3 + y   s e n   z i + y 3 + z   s e n   x j + 3 z   k , S é a superfície do sólido limitado pelos hemisférios z = 4 - x 2 - y 2 ,   z = 1 - x 2 - y 2   e pelo plano z = 0

Passo 1

O divergente da função F é:

d i v   F = ( 3 x 2 + 3 y 2 + 3 )

Logo a integral que devemos resolver é:

∫ ∫ ∫ E 3 x 2 + 3 y 2 + 3 d V

Passo 2

Agora precisamos especificar o tipo de região que estamos trabalhando pra poder fazer a integral de forma correta, note que os hemisférios dados nos dá duas esferas cheias, de raio igual a 1 e outra de raio igual a 2 , logo se trabalharmos com coordenadas esféricas teremos:

1 ≤ ρ ≤ 2

0 ≤ ϕ ≤ π / 2

Pois z = 0 não deixa ϕ ir para o plano inferior.

0 ≤ θ ≤ 2 π

E que em coordenadas esféricas temos:

x = ρ sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ

y = ρ sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ

Logo a nossa integral fica:

∫ 0 2 π ∫ 0 π / 2 ∫ 1 2 ( 3 ρ 2 sin 2 ⁡ ϕ sin 2 ⁡ θ + 3 ρ 2 sin 2 ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + 3 ) ρ 2 sin ⁡ ϕ     d ρ d ϕ d θ

Não esquecer do jacobiano

∫ 0 2 π ∫ 0 π / 2 ∫ 1 2 ( 3 ρ 4 sin 3 ⁡ ϕ + 3 ρ 2 sin ⁡ ϕ )   d ρ d ϕ d θ

Fazendo a primeira integral temos:

∫ 0 2 π ∫ 0 π / 2 3 sin 2 ⁡ ϕ ρ 5 5 1 2 + 3 ρ 1 2   d ϕ d θ

2 π ∫ 0 π / 2 ( 93 5 sin 3 ⁡ ϕ + 3 ρ 3 3 1 2 sin ⁡ ϕ )   d ϕ

Fazendo integração por partes encontramos:

∫ sin 3 ⁡ x   d x = - cos ⁡ x + cos 3 ⁡ x 3

Logo:

2 π 93 5 - cos ⁡ ϕ + cos 3 ⁡ ϕ 3 - 7 c o s ϕ 0 π / 2

2 π 93 5 1 - 1 3 + 7 = 2 π 93 5 2 3 + 7 = 194 π 5

Resposta

194 π 5

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