Enunciado

Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.

f x = x 2 1 - 2 x 2

Passo 1

Beleza, pessoal? Olha bem pra nossa função, podemos reescrevê-la como um produto:

f x = x 2 1 - 2 x 2 = x 2 1 1 - 2 x 2

Mas, olha só:

1 1 - 2 x 2 = 1 2 1 1 - 2 x '

Passo 2

Quanto àquela expressão dentro da derivada, podemos vê-la como a soma de uma série geométrica de primeiro termo 1 e razão 2 x :

1 1 - 2 x 2 = 1 2 ∑ n = 0 ∞ 1 2 x n ' = 1 2 ∑ n = 0 ∞ 2 n x n ' = 1 2 ∑ n = 1 ∞ 2 n n x n - 1 = ∑ n = 1 ∞ 2 n - 1 n x n - 1

Para voltarmos a f x , é só multiplicar a série por x 2 , né?

f x = x 2 1 1 - 2 x 2 = ∑ n = 1 ∞ 2 n - 1 n ( x n - 1 x 2 ) = ∑ n = 1 ∞ 2 n - 1 n x n + 1

Show! Pra nossa série ficar mais bonitinha, em termos de x n , vamos substituir n por n - 1 , e aí o somatório passa a começar em n = 2 :

f x = ∑ n = 2 ∞ 2 n - 2 ( n - 1 ) x n

Passo 3

Como a razão da série geométrica que usamos era 2 x , pra série convergir devemos ter:

2 x < 1

x < 1 2

Então o raio de convergência é R = 1 2 , já que a integração ou derivação da série não altera o raio de convergência.

Resposta

f x = ∑ n = 2 ∞ 2 n - 2 ( n - 1 ) x n

R = 1 2

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