Enunciado

14.6. Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s)

f x , y = x 2 + y 2 ;                           x 4 + y 4 = 1

Passo 1

Para começar o exercício, temos que determinar os multiplicadores de Lagrange.

Para isso vamos começar calculando o divergente de f ( x , y )

∇ f = < ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y >   = < 2 x ,   2 y >

E também precisamos do divergente de g x , y

λ ∇ g = λ < ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y >   = < 4 λ x 3 ,   4 λ y 3 >

Então nós temos que

2 x = 4 λ x 3

x = 2 λ x 3

Podemos obter um dos resultados isolando λ

λ = 1 2 x 2

O outro resultado é x = 0 .

Se usarmos x = 0 na restrição temos

x 4 + y 4 = 1

y 4 = 1

Isso implica

y = ± 1

Então temos os pontos

0 ,   1   e   ( 0 , - 1 )

Por outro lado

2 y = 4 λ y 3

y = 2 λ y 3

Vamos, de novo, isolar λ

λ = 1 2 y 2

Caso λ   ≠     1 2 y 2

Temos

y = 0

Usando na restrição temos

x 4 + y 4 = 1

x 4 = 1

Isso implica

x = ± 1

Então temos os pontos

  1 ,   0   e   ( - 1 ,   0 )

Vamos agora igualar o λ

1 2 x 2 = 1 2 y 2

Isso implica que

x 2 = y 2

Substituindo isso na nossa restrição

x 4 + y 4 = 1

x 4 + x 4 = 1

2 x 4 = 1

Agora vamos achar um valor para x

x = 1 2 4

Então

y = 1 2 4

O nosso último ponto é

1 2 4 , 1 2 4

Passo 2

Então nós temos que

2 x = 4 λ x 3

x = 2 λ x 3

Podemos obter um dos resultados isolando λ

λ = 1 2 x 2

O outro resultado é x = 0 .

Se usarmos x = 0 na restrição temos

x 4 + y 4 = 1

y 4 = 1

Isso implica

y = ± 1

Então temos os pontos

0 ,   1   e   ( 0 , - 1 )

Por outro lado

2 y = 4 λ y 3

y = 2 λ y 3

Vamos, de novo, isolar λ

λ = 1 2 y 2

Caso λ   ≠     1 2 y 2

Temos

y = 0

Usando na restrição temos

x 4 + y 4 = 1

x 4 = 1

Isso implica

x = ± 1

Então temos os pontos

  1 ,   0   e   ( - 1 ,   0 )

Vamos agora igualar o λ

1 2 x 2 = 1 2 y 2

Isso implica que

x 2 = y 2

Substituindo isso na nossa restrição

x 4 + y 4 = 1

x 4 + x 4 = 1

2 x 4 = 1

Agora vamos achar um valor para x

x = 1 2 4

Então

y = 1 2 4

O nosso último ponto é

1 2 4 , 1 2 4

Passo 3

Agora vamos determinar se os pontos que encontramos são valores máximos ou mínimos.

f x , y = x 2 + y 2

f 0 , ±   1 = 0 2 + ± 1 2 = 1

Por outro lado

f ± 1 ,   0 = ± 1 2 + 0 2 = 1

E por fim

f 1 2 4 , 1 2 4 = 1 2 4 2 + 1 2 4 2 = 2

Então

1 2 4 , 1 2 4

É o limite máximo e

0 , ± 1 ,   ( ± 1 ,   0 )

São os limites mínimos.

Resposta

1 2 4 , 1 2 4

É o limite máximo e

0 , ± 1 ,   ( ± 1 ,   0 )

São os limites mínimos.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use o método dos multiplicadores de lagrange para encontrar os pontos críticos da função dada, sujeito com os vínculos dados
Use o método dos multiplicadores de lagrange para encontrar os extremos relativo de f, sujeito ao vínculo indicado, ache também os pontos nos quais os extremos ocorrem. Suponha que os extremos relativ
7. Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar:Comente sobre a geometria das soluções.
Extremos em uma circunferência Encontre os valores má-ximo e mínimo de 3x – y + 6 sujeitos à restrição x2 + y2 = 4