Enunciado

Utilize as coordenadas cilíndricas.

Calcule ∭ E e z d V , onde E está delimitado pelo paraboloide z = 1 + x 2 + y 2 , pelo cilindro x 2 + y 2 = 5 e pelo plano x y .

Passo 1

O grande trabalho de questões deste tipo é descrever os limites de integração. Esta é uma integral tripla do tipo 1, limitada superiormente pelo paraboloide e inferiormente pelo plano x y . Portanto,

0 ≤ z ≤ 1 + x 2 + y 2

Já a projeção do sólido é exatamente a projeção do cilindro x 2 + y 2 = 5 no plano x y . Como esta é uma região circular de raio 5 , é mais interessante descrevê-la por coordenadas polares (e consequentemente, a integral tripla vira uma integral em coordenadas cilíndricas, o que é uma obrigação da questão). Com isto, os limites viram:

0 ≤ r ≤ 5

0 ≤ θ ≤ 2 π

E já os limites em z viram:

0 ≤ z ≤ 1 + r 2

Sendo assim, temos a seguinte integral:

∫ 0 2 π ∫ 0 5 ∫ 0 1 + r 2 e z r d z d r d θ

Passo 2

Nosso passo agora é apenas resolver a integral descrita no final do Passo 1. Com isto, temos:

∫ 0 2 π ∫ 0 5 ∫ 0 1 + r 2 e z r d z d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 5 r e z 0 1 + r 2 d r d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 5 r e z 0 1 + r 2 d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 5 r e 1 + r 2 - 1 d r d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 5 r e 1 + r 2 - 1 d r d θ = ∫ 0 2 π e 1 + r 2 2 - r 2 2 0 5 d θ

∫ 0 2 π e 6 - e 2 - 5 2 d θ

π e 6 - e - 5

E esta é a nossa resposta!

Resposta

π e 6 - e - 5

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Calcule a integral, transformando para coordenadas cilíndricas ∫ - 1 1 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 ∫ x 2 + y 2 2 - x 2 - y 2 x 2 + y 2 3 / 2 d z d y d x
Calcular ∭ T d V , onde T é a região limitada por x 2 + y 2 = 4 e y 2 + z 2 = 4 .
Calcular ∭ T z . d V , onde T é a região interior às superfícies z = - 1 4 ( x 2 + y 2 ) e x 2 + y 2 + z 2 = 5 .
Calcular ∭ T d V , onde T é a região limitada por x 2 + y 2 - x = 0 e x 2 + y 2 + z 2 = 1 .