Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.8 - Ex. 9
Utilize as coordenadas cilíndricas.
Calcule , onde está delimitado pelo paraboloide , pelo cilindro e pelo plano .
Passo 1
O grande trabalho de questões deste tipo é descrever os limites de integração. Esta é uma integral tripla do tipo 1, limitada superiormente pelo paraboloide e inferiormente pelo plano . Portanto,
Já a projeção do sólido é exatamente a projeção do cilindro no plano . Como esta é uma região circular de raio , é mais interessante descrevê-la por coordenadas polares (e consequentemente, a integral tripla vira uma integral em coordenadas cilíndricas, o que é uma obrigação da questão). Com isto, os limites viram:
E já os limites em viram:
Sendo assim, temos a seguinte integral:
Passo 2
Nosso passo agora é apenas resolver a integral descrita no final do Passo 1. Com isto, temos:
E esta é a nossa resposta!