Enunciado

Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície ∬ c F → ⋅ d S → ; ou seja, calcule o fluxo de F → através de S .

F → x , y , z = r → / | r | , onde r = x i → + y → + z → , S   consiste do hemisfério z = 1 - x 2 - y 2 e do disco x 2 + y 2 ≤ 1 no plano x y .

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Vamos calcular o divergente do campo F → :

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x F x + ∂ ∂ y F y + ∂ ∂ z ( F z )

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x x x 2 + y 2 + z 2 + ∂ ∂ y y x 2 + y 2 + z 2 + ∂ ∂ z z x 2 + y 2 + z 2 = 3 x 2 + y 2 + z 2 + x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 = 4 x 2 + y 2 + z 2

Certo? Agora vamos ver a região de integração!

Passo 2

A região de integração é um hemisfério com raio 1 e o plano z = 0 . Em coordenadas esféricas temos x = ρ s e n ϕ c o s θ ; y = ρ s e n ϕ s e n θ   e   z = ρ c o s ϕ . No plano x y temos um círculo de raio R . Assim os limites das variáveis são:

0 ≤ ϕ ≤ π 2 0 ≤ ρ ≤ 1 0 ≤ θ ≤ 2 π

E o diferencial de volume vai ser d V = ρ 2 s e n ϕ d ρ d ϕ d θ

O divergente do campo na nova parametrização é ∇ ⋅ F → = 4 ρ

Agora é só colocar na integral!

Passo 3

∭ E ∇ ⋅ F → d V = ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 2 ∫ 0 1 4 ρ 3 s e n ϕ d ρ d ϕ d θ = 4 ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 2 ρ 4 4 s e n ϕ d ϕ d θ    

∭ E ∇ ⋅ F → d V = ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 2 s e n ϕ d ϕ d θ = ∫ 0 2 π - c o s ϕ 0 π / 2 = ∫ 0 2 π d θ = 2 π

∭ E ∇ ⋅ F → d V = 2 π

Resposta

∭ E ∇ ⋅ F → d V = 2 π

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