Enunciado

Verifique se o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial dado F → e a superfície S .

F → = y i → + z j → + x k → , S é o hemisfério x 2 + y ² + z ² = 1 , y ≥ 0 , orientado na direção positiva do eixo y .

Passo 1

Oi galera, tudo bem? A primeira coisa aqui a se fazer é determinar a fronteira. Como é um círculo:

x 2 + z 2 = 1

Vou preferir usar a forma do teorema que diz ∫ C F → ⋅ d r → . Uma parametrização possível é:

r → t = c o s t i → + 0 j → - s e n t k →

E o campo em função dessa nova parametrização fica:

F → x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) = y i → + z j → + x k → = - s e n t j → + c o s t   k →

Passo 2

E o vetor d r → ? Ele é d   r → = r → ' ( t ) d t , então remos que calcular r → ' ( t ) :

r → t = c o s t i → - s e n t k →

r → ' t = - s e n t i → - c o s t k →

E o produto escalar entre F → t ⋅ r → ' ( t ) é:

0 , - s e n t , c o s t   ⋅ - s e n t ,   0 ,   - c o s t = - cos 2 ⁡ t

Com 0 ≤ t ≤ 2 π .

Passo 3

Legal! O próximo passo é colocar na integral!

∫ C F → ⋅ d r → = ∫ 0 2 π - cos 2 ⁡ t   d t

Usando a relação trigonométrica:

∫ cos 2 ⁡ t = t 2 + 1 4 sen ⁡ 2 t + c

Então:

∫ C F → ⋅ d r → = - t 2 - 1 4 sen ⁡ 2 t 0 2 π = - π

Pronto! Agora vamos comparar com o outro lado do Teorema de Stokes.

Passo 4

Oi galera, tudo bem? A curva pode ser parametrizada por:

r → ϕ , θ = s e n ϕ c o s θ i → + s e n ϕ s e n θ j → + c o s ϕ k →

E o vetor normal a essa superfície vai ser n → = r ϕ × r θ

Daí temos:

r ϕ = ( c o s ϕ c o s θ ,   c o s ϕ s e n θ ,   - s e n ϕ )

r θ = ( - s e n ϕ s e n θ ,   s e n ϕ c o s θ ,   0 )

E o produto vetorial entre eles é:

r ϕ × r θ = i → j → k → c o s ϕ c o s θ c o s ϕ s e n θ - s e n ϕ - s e n ϕ s e n θ s e n ϕ c o s θ 0 = i → s e n 2 ϕ c o s θ + j → s e n 2 ϕ s e n θ + k → ( s e n ϕ c o s ϕ )

Passo 5

Legal! O próximo passo é determinar o rotacional de F → :

∇ × F → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z y z x = i → ∂ ∂ y ( x ) - ∂ ∂ z ( z ) + j → ∂ ∂ z ( y ) - ∂ ∂ x ( x ) + k → ∂ ∂ x ( z ) - ∂ ∂ y ( y )

∇ × F → = - 1 , - 1 , - 1

O produto escalar entre ∇ × F → e n → fica:

∇ × F → ⋅ n → = s e n 2 ϕ c o s θ , s e n 2 ϕ s e n θ , s e n ϕ c o s ϕ ⋅ - 1 , - 1 , - 1 = - s e n 2 ϕ c o s θ - s e n 2 ϕ s e n θ - s e n ϕ c o s ϕ

Passo 6

Agora é colocar tudo na integral:

∬ S c u r l   F → ⋅ d S = ∫ 0 π ∫ 0 π - s e n 2 ϕ c o s θ - s e n 2 ϕ s e n θ - s e n ϕ c o s ϕ d θ d ϕ = ∫ 0 π ( - 2 s e n 2 ϕ - π s e n ϕ c o s ϕ ) d ϕ = - π

∬ S c u r l   F → ⋅ d S = Agora comparando os resultados dos passos 3 e 6 vemos que

∫ C F → ⋅ d r → = ∬ S c u r l   F → ⋅ d S = - π

Resposta

∫ C F → ⋅ d r → = ∬ S c u r l   F → ⋅ d S = - π

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