Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.8 - Ex. 15
Verifique se o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial dado e a superfície .
, é o hemisfério , , orientado na direção positiva do eixo .
Passo 1
Oi galera, tudo bem? A primeira coisa aqui a se fazer é determinar a fronteira. Como é um círculo:
Vou preferir usar a forma do teorema que diz . Uma parametrização possível é:
E o campo em função dessa nova parametrização fica:
Passo 2
E o vetor ? Ele é , então remos que calcular :
E o produto escalar entre é:
Com .
Passo 3
Legal! O próximo passo é colocar na integral!
Usando a relação trigonométrica:
Então:
Pronto! Agora vamos comparar com o outro lado do Teorema de Stokes.
Passo 4
Oi galera, tudo bem? A curva pode ser parametrizada por:
E o vetor normal a essa superfície vai ser
Daí temos:
E o produto vetorial entre eles é:
Passo 5
Legal! O próximo passo é determinar o rotacional de :
O produto escalar entre e fica:
Passo 6
Agora é colocar tudo na integral:
Agora comparando os resultados dos passos e vemos que
Resposta
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