Enunciado

Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície ∬ c F → ⋅ d S → ; ou seja, calcule o fluxo de F → através de S .

F → x , y , z = 3 x y 2 i → + 2 x e z j → + z 3 k → , S   é a superfície do sólido delimitado pelo cilindro y 2 + z 2 = 1 e pelos planos x = - 1 e x = 2

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Vamos calcular o divergente do campo F → :

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x F x + ∂ ∂ y F y + ∂ ∂ z ( F z )

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x 3 x y 2 + ∂ ∂ y x e z + ∂ ∂ z z 3 = 3 y 2 + 3 z 2

Passo 2

A região de integração é um cilindro. Em coordenadas cilíndricas temos x = x ; y = r c o s θ   e   z = r s e n θ . Assim os limites das variáveis são:

- 1 ≤ x ≤ 2 0 ≤ r ≤ 1 0 ≤ θ ≤ 2 π

E o diferencial de volume vai ser d V = r d x d r d θ

Agora é só colocar na integral!

Passo 3

∭ E ∇ ⋅ F → d V = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ - 1 2 ( 3 y 2 + 3 z 2 ) r d x d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ - 1 2 3 r 3 d x d r d θ    

∭ E ∇ ⋅ F → d V = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 3 r 3 x - 1 2 d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 9 r 3 d r d θ =   ∫ 0 2 π 9 r 4 4 0 1 d θ

∭ E ∇ ⋅ F → d V = 9 4 . θ 0 2 π = 9.2 π 4 = 9 π 2

Resposta

∭ E ∇ ⋅ F → d V = 9 π 2

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