Enunciado

Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície ∬ c F → ⋅ d S → ; ou seja, calcule o fluxo de F → através de S .

F → x , y , z = x 2 y 3 i → + 2 x y z 3 j → + x z 4 k → , S   é a superfície da caixa de vértices ( ± 1 , ± 2 ,   ± 3 )

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Vamos calcular o divergente do campo F → :

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x F x + ∂ ∂ y F y + ∂ ∂ z ( F z )

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x x 2 z 3 + ∂ ∂ y 2 x y z 3 + ∂ ∂ z x z 4 = 2 x z 3 + 2 x z 3 + 4 x z 3 = 8 x z 3

Passo 2

A região de integração é uma caixa. Assim os limites das variáveis são:

- 1 ≤ x ≤ 1 - 2 ≤ y ≤ - 2 - 3 ≤ z ≤ 3

E o diferencial de volume vai ser d V = d x d y d z

Agora é só colocar na integral!

Passo 3

∭ E ∇ ⋅ F → d V = ∫ - 3 3 ∫ - 2 2 ∫ - 1 1 ( 8 x z 3 ) d x d y d z = ∫ - 3 3 ∫ - 2 2 8 x 2 z 3 2 - 1 1 d y d z = ∫ - 3 3 ∫ - 2 2 8 x 2 z 3 2 - 1 1  

∭ E ∇ ⋅ F → d V = ∫ - 3 3 ∫ - 2 2 4 z 3 ( 1 - 1 ) d y d z = 0

∭ E ∇ ⋅ F → d V = 0

Resposta

∭ E ∇ ⋅ F → d V = 0

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