Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.9 - Ex. 1
Verifique que o Teorema do Divergente é verdadeiro para o campo vetorial na região .
, é o cubo limitado pelos planos .
Passo 1
Oi galera, tudo bem? Pelo Teorema da Divergência temos:
Sendo assim, vamos testar dos dois lados.
Passo 2
Começando pelo lado direito.
Vamos calcular o divergente do campo :
Passo 3
Legal! O próximo passo é saber qual é a região . É um cubo de lado , então em coordenadas cartesianas temos:
E o elemento de volume é
Agora podemos calcular o valor de :
Passo 4
Agora vamos calcular o lado esquerdo. Como a região a ser considerada é um cubo, então devemos levar em conta a contribuição de cada uma das faces. Vamos lá?
- Para : . O campo é e em ele fica:
- Para : . O campo é e em ele fica:
- Para : . O campo é e em ele fica:
- Para : . O campo é e em ele fica:
- Para : . O campo é e em ele fica:
- Para : . O campo é e em ele fica:
O produto escalar entre e é:
A região é um retângulo de lado , no plano . O elemento de área vai ser com os limites:
E fazendo a integral :
O produto escalar entre e é:
Assim:
O produto escalar entre e é:
A região é um retângulo de lado , no plano . O elemento de área vai ser com os limites:
E fazendo a integral :
O produto escalar entre e é:
Assim:
O produto escalar entre e é:
A região é um retângulo de lado , no plano . O elemento de área vai ser com os limites:
E fazendo a integral :
E por fim, a última face do cubo:
O produto escalar entre e é:
Assim:
Somando todos os resultados temos:
Então verificamos o teorema =D