Enunciado

Verifique que o Teorema do Divergente é verdadeiro para o campo vetorial F → na região E .

F → x , y , z = 3 x i → + x y j → + 2 x z k → , E   é o cubo limitado pelos planos x = 0 , x = 1 ,   y = 0 ,   y = 1 , z = 0 , z = 1 .

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Pelo Teorema da Divergência temos:

∬ S F → ⋅ d S → = ∭ E ∇ ⋅ F → d V

Sendo assim, vamos testar dos dois lados.

Passo 2

Começando pelo lado direito.

Vamos calcular o divergente do campo F → :

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x F x + ∂ ∂ y F y + ∂ ∂ z ( F z )

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x 3 x + ∂ ∂ y x y + ∂ ∂ z 2 x z = 3 + x + 2 x = 3 + 3 x

Passo 3

Legal! O próximo passo é saber qual é a região E . É um cubo de lado 1 , então em coordenadas cartesianas temos:

0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ 1 0 ≤ z ≤ 1

E o elemento de volume é d V = d x d y d z

Agora podemos calcular o valor de ∭ E ∇ ⋅ F → d V :

∭ E ∇ ⋅ F → d V = ∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 ( 3 + 3 x ) d x d y d z =   ∫ 0 1 ∫ 0 1 3 x + 3 x 2 2 0 1 d y d z = ∫ 0 1 ∫ 0 1 9 2 d y d z = ∫ 0 1 9 2 y 0 1 d z = ∫ 0 1 9 2 d z = 9 2

Passo 4

Agora vamos calcular o lado esquerdo. Como a região a ser considerada é um cubo, então devemos levar em conta a contribuição de cada uma das 6 faces. Vamos lá?

  • Para S 1 : n → = i → . O campo é F = 3 x ,   x y ,   2 x z ,   e em x = 1 ele fica: F = 3 ,   y ,   2 z
  • O produto escalar entre F → e n → é:

    F → ⋅ n → = 3 , y , 2 z ⋅ 1,0 , 0 = 3

    A região S 1 é um retângulo de lado 1 , no plano y z . O elemento de área vai ser d A = d y d z com os limites:

    0 ≤ y ≤ 1 0 ≤ z ≤ 1

    E fazendo a integral ∬ S F → ⋅ d S → :

    ∬ S 1 F → ⋅ d S → = ∫ 0 1 ∫ 0 1 3 d y d z = 3

  • Para S 2 : n → = - i → . O campo é F = 3 x ,   x y ,   2 x z ,   e em x = 0 ele fica: F = 0,0 , 0
  • O produto escalar entre F → e n → é:

    F → ⋅ n → = 0,0 , 0 ⋅ - 1,0 , 0 = 0

    Assim:

    ∬ S 2 F → ⋅ d S → = 0

  • Para S 3 : n → = j → . O campo é F = 3 x ,   x y ,   2 x z ,   e em y = 1 ele fica: F = 3 x , x , 2 x z
  • O produto escalar entre F → e n → é:

    F → ⋅ n → = 3 x , x , 2 x z ⋅ 0,1 , 0 = x

    A região S 3 é um retângulo de lado 1 , no plano x z . O elemento de área vai ser d A = d x d z com os limites:

    0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ z ≤ 1

    E fazendo a integral ∬ S F → ⋅ d S → :

    ∬ S 3 F → ⋅ d S → = ∫ 0 1 ∫ 0 1 x d x d z = ∫ 0 1 x 2 2 0 1 d z = 1 2 ∫ 0 1 d z = 1 2

  • Para S 4 : n → = - j → . O campo é F = 3 x ,   x y ,   2 x z ,   e em y = 0 ele fica: F = 3 x , 0,2 x y
  • O produto escalar entre F → e n → é:

    F → ⋅ n → = 3 x , 0 , 2 x z ⋅ 0 , - 1,0 = 0

    Assim:

    ∬ S 4 F → ⋅ d S → = 0

  • Para S 5 : n → = k → . O campo é F = 3 x ,   x y ,   2 x z ,   e em z = 1 ele fica: F = 3 x , x , 2 x
  • O produto escalar entre F → e n → é:

    F → ⋅ n → = 3 x , x , 2 x ⋅ 0,0 , 1 = 2 x

    A região S 5 é um retângulo de lado 1 , no plano x y . O elemento de área vai ser d A = d x d y com os limites:

    0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ 1

    E fazendo a integral ∬ S F → ⋅ d S → :

    ∬ s 5 F → ⋅ d S → = ∫ 0 1 ∫ 0 12 x d x d z = ∫ 0 1 2 x 2 2 0 1 d z = 2 2 ∫ 0 1 d z = 1

    E por fim, a última face do cubo:

  • Para S 6 : n → = k → . O campo é F = 3 x ,   x y ,   2 x z ,   e em z = 0 ele fica: F = 3 x , x , 0

O produto escalar entre F → e n → é:

F → ⋅ n → = 3 x , x , 0 ⋅ 0,0 , - 1 = 0

Assim:

∬ S 6 F → ⋅ d S → = 0

Somando todos os resultados temos:

∬ S F → ⋅ d S → = 3 + 0 + 1 2 + 0 + 1 + 0 = 9 2

∬ S F → ⋅ d S → = ∭ E ∇ ⋅ F → d V = 9 2

Então verificamos o teorema =D

Resposta

∬ S F → ⋅ d S → = ∭ E ∇ ⋅ F → d V = 9 2

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