Enunciado

Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície ∬ c F → ⋅ d S → ; ou seja, calcule o fluxo de F → através de S .

F → x , y , z = e y t g z   i → +   y 3 - x 2   j → + x s e n y   k → , S   é a superfície z = 2 - x 4 - y 4 ,   - 1 ≤ x ≤ 1 ,   - 1 ≤ y ≤ 1 .

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Vamos calcular o divergente do campo F → :

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x F x + ∂ ∂ y F y + ∂ ∂ z ( F z )

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x e y t g z   + ∂ ∂ y y 3 - x 2 + ∂ ∂ z x s e n y = 3 - x 2

Certo? Agora vamos ver a região de integração!

Passo 2

A região de integração é uma superfície estranha, mas bem delimitada. Os limites de x , y   e   z são:

- 1 ≤ x ≤ 1 - 1 ≤ y ≤ 1 0 ≤ z ≤ 2 - x 4 - y 4

E o diferencial de volume vai ser d V = d z d y d x

Agora é só colocar na integral!

Passo 3

∭ E ∇ ⋅ F → d V = ∫ - 1 1 ∫ - 1 1 ∫ 0 2 - x 4 - y 4 3 - x 2 d z d y d x = ∫ - 1 1 ∫ - 1 1   ( 2 3 - x 2 - x 4 3 - x 2 - y 2 3 - x 2 )   d y d x

Essa integral é bem complicadinha, eu fiz um pouco mais na mão, mas você pode jogar em uma calculadora para garantir o resultado, como o livro sugere =D

∭ E ∇ ⋅ F → d V = ∫ - 1 1 10 3 3 - x 2 - 2 x 4 3 - x 2   d x

E olhando em uma calculadora temos:

∭ E ∇ ⋅ F → d V = 18 2 5 + 54 5 s e n - 1 1 3 - 81 12 s e n - 1 1 3 + 25 2 12 = 341 2 60 + 81 20 s e n - 1 1 3

Resposta

∭ E ∇ ⋅ F → d V = 341 2 60 + 81 20 s e n - 1 1 3

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Use o Teorema da Divergência para calcular a integral superfície ∬ S F . d S , ou seja, calcule o fluxo de F através de S . F x , y , z = x y e z i + x y 2 z 3 j - y e z k S é a superfície da caixa li
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Use o Teorema da Divergência para calcular a integral superfície ∬ S F . d S , ou seja, calcule o fluxo de F através de S . F = e y tan ⁡ z i + y 3 - x 2 j + x sen ⁡ y k S é a superfície de um ´solido
Use o Teorema da Divergência para calcular a integral superfície ∬ S F . d S , ou seja, calcule o fluxo de F através de S . F = r 2 r ,r = x i + y j + z k S é a esfera com raio R e centrada na origem.
Use o Teorema da Divergencia para calcular a integral de superfície ∬ S F ⋅ d S ; ou seja, calcular o fluxo de F através de S . F x , y , z = 3 x y 2 i + x e z j + ^ 3k , S é a superfície do sólido li