Enunciado

Use o Teorema da Estimativa de Séries Alternadas ou a Desigualdade de Taylor para estimar a gama de valores de x para os quais a aproximação dada tem precisão dentro do erro estabelecido. Verifique sua resposta graficamente.

arctg ⁡ x ≈ x - x 3 3 + x 5 5 ,                     ( e r r o < 0,005 )

Passo 1

Para essa questão, é mais simples usar o Teorema da Estimativa de Séries Alternadas que diz que se

f x = ∑ - 1 n b n

Então

R n x = f x - s n ≤ b n + 1

Mas o que isso quer dizer? Se tivermos uma série alternada, o erro de uma estimativa é menor que o próximo termo da série em módulo.

Passo 2

Para usar esse teorema, vamos achar a série da arctg ⁡ x . Vamos derivar a função

arctg ⁡ x ' = 1 1 + x 2 = 1 1 - ( - x 2 )

= ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n

Então temos que

arctg ⁡ x ' = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n

Para achar a série de arctg ⁡ x , vamos integrar dos dois lados

arctg ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n ∫ x 2 n d x

arctg ⁡ x = C + ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1  

Para achar a constante, podemos substituir x = 0

arctg ⁡ 0 = C + 0

C = 0

Então temos a série da arctg ⁡ x

arctg ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1   = x - x 3 3 + x 5 5 - x 7 7 + …

Passo 3

Então temos que se aproximarmos

arctg ⁡ x ≈ x - x 3 3 + x 5 5

O nosso erro é menor que o próximo termo da série módulo seria x 7 / 7

R n x ≤ x 7 7

Passo 4

Se queremos um erro menor que 0,005 , podemos dizer que

0,005 ≤ x 7 7

Isolando o x

x 7 ≥ 7 ⋅ 0,005

x 7 ≥ 0,035

x ≥ 0,035 1 / 7

x ≥ 0,61945 …

Passo 5

Olhando graficamente

Temos em vermelho o polinômio e em preto ( arctg ⁡ x + 0,005 ) e ( arctg ⁡ x - 0,005 ) , que são as margens de erro aceitáveis e o polinômio encontra o limite em x = 0,6444 , então os valores da nossa estimativa estão dentro da margem de erro. Como a função é simétrica, o limite inferior do intervalo vai ser x = - 0,6444 .

Resposta

x ≥ 0,61945 …

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