Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.11 - Ex. 29
Use o Teorema da Estimativa de Séries Alternadas ou a Desigualdade de Taylor para estimar a gama de valores de para os quais a aproximação dada tem precisão dentro do erro estabelecido. Verifique sua resposta graficamente.
Passo 1
Para essa questão, é mais simples usar o Teorema da Estimativa de Séries Alternadas que diz que se
Então
Mas o que isso quer dizer? Se tivermos uma série alternada, o erro de uma estimativa é menor que o próximo termo da série em módulo.
Passo 2
Para usar esse teorema, vamos achar a série da . Vamos derivar a função
Então temos que
Para achar a série de , vamos integrar dos dois lados
Para achar a constante, podemos substituir
Então temos a série da
Passo 3
Então temos que se aproximarmos
O nosso erro é menor que o próximo termo da série módulo seria
Passo 4
Se queremos um erro menor que , podemos dizer que
Isolando o
Passo 5
Olhando graficamente
Temos em vermelho o polinômio e em preto e , que são as margens de erro aceitáveis e o polinômio encontra o limite em , então os valores da nossa estimativa estão dentro da margem de erro. Como a função é simétrica, o limite inferior do intervalo vai ser .