Enunciado

Calcule a integral dupla.

∬_D^() e^(- y^2) d A , D = {(x , y) | 0 <= y <= 3 , 0 <= x <= y}

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Primeiro, vamos integrar a função com relação a x e considerar y como uma constante. Podemos dizer que:

∬_D^() e^(- y^2) d A = int_0^3 int_0^y e^(- y^2) d x d y

Vamos resolver a integral com relação a x :

int_0^y e^(- y^2) d x = e^(- y^2) [x]_0^y

int_0^y e^(- y^2) d x = e^(- y^2) (y - 0)

int_0^y e^(- y^2) d x = y e^(- y^2)

Logo:

int_0^3 int_0^y e^(- y^2) d x d y = int_0^3 y e^(- y^2) d y

Passo 2

Como temos uma multiplicação de funções com relação a y , temos que aplicar algum método para resolver.

Vamos tentar o método da substituição. Consideraremos:

y^2 = t

Logo, derivando dos dois lados, temos:

2 y d y = d t

y d y = (d t)/(2)

Agora temos que rearranjar a integral de forma que nos ajude a substituir.

Mas antes, temos que ver se os limites de integração serão afetados. Vamos lá:

y = 0 -> t = 0

y = 3 -> t = 9

Portanto nossos novos limites de integração quando y^2 = t , são de 3 -> 9 .

int_0^3 y e^(- y^2) d y = int_0^9 e^(- t) (d t)/(2)

int_0^9 e^(- t) (d t)/(2) = (1)/(2) int_0^9 e^(- t) d t

(1)/(2) int_0^9 e^(- t) d t = (1)/(2) [- e^(- t)]_0^9

(1)/(2) int_0^9 e^(- t) d t = (1)/(2) (- e^(- 9) - (- e^(- 0)))

(1)/(2) int_0^9 e^(- t) d t = (1)/(2) (- e^(- 9) + 1)

(1)/(2) int_0^9 e^(- t) d t = ((1 - e^(- 9)))/(2)

Logo:

int_0^3 y e^(- y^2) d y = ((1 - e^(- 9)))/(2)

E:

∬_D^() e^(- y^2) d A = int_0^3 int_0^y e^(- y^2) d x d y = ((1 - e^(- 9)))/(2)

Resposta

∬_D^() e^(- y^2) d A = ((1 - e^(- 9)))/(2)

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Calcule