Enunciado

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Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.

Passo 1

Para resolvermos esse exercício, vamos precisar encontrar quais são as funções que delimitam y ou x e integrar para esse intervalo.

Passo 2

Temos que ficará mais simples calcular essa integral pelo teorema de Green se fixarmos x e variarmos o y . Assim, temos que nosso intervalo para x será 0 ≤ x ≤ 2 e em y será x ≤ y ≤ 2 ⋅ x , pois ambas retas limitam o intervalo de y . Assim, como a curva é fechada, podemos aplicar o teorema de Green, ficando com.

∫ C F → ⋅ d r → = ∫ ∫ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y ⋅ d A =

= ∫ ∫ D ∂ ∂ x 2 ⋅ x 2 ⋅ y - ∂ ∂ y x ⋅ y 2 ⋅ d A = ∫ 0 2 ∫ x 2 ⋅ x 4 ⋅ x ⋅ y - 2 ⋅ x ⋅ y ⋅ d y ⋅ d x =

= ∫ 0 2 ∫ x 2 ⋅ x 2 ⋅ x ⋅ y ⋅ d y ⋅ d x = ∫ 0 2 2 ⋅ x ⋅ y 2 2 x 2 ⋅ x = ∫ 0 2 x ⋅ 4 ⋅ x 2 - x 2 ⋅ d x =

= 3 ⋅ x 4 4 0 2 = 3 4 ⋅ 2 4 - 0 3 = 16 ⋅ 3 4 = 12

Resposta

∫ C x ⋅ y 2 ⋅ d x + 2 ⋅ x 2 ⋅ y ⋅ d y = 12

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