Enunciado

Use o Teorema de Stokes para calcular ∬ S r o t F . d S

F x , y , z = x y z i + x y j + x 2 y z k

S consiste no topo e nas quatro laterais (mas não o fundo) do cubo com vértices ( ± 1 , ± 1 , ± 1 ) , orientada para fora.

Passo 1

Pessoal, o Teorema de Stokes é dada por

∬ S r o t F . d S = ∫ C F . d r

onde C é a curva fechada que forma a fronteira, simples, suave por partes e com orientação positiva.

A fronteira da superfície e o face do fundo do cubo são a mesma. Assim, pelo Teorema de Stokes nós podemos dizer que

∬ S r o t F . d S = ∫ C F . d r = ∬ H r o t F . d S

onde S é a superfície, H é o fundo do cubo e o C é a fronteira comum, que é o plano z = - 1 .

Ao invés de calcular a integral de linha de C , que não é suave e consiste de quatro segmentos de reta, nós vamos calcular a integral de superfície através do fundo do cubo. O fundo deve ser orientado para cima. Mas por que? O Teorema de Stokes e a regra da mão direita nos diz que C é orientada no sentido anti-horário. Novamente, o Teorema de Stokes e a regra da mão direita nos diz que H é orientada para cima porque C é orientada no sentido anti-horário.

Passo 2

Aplicando o Teorema de Stokes, temos:

∬ S r o t F . d S = ∫ C F . d r = ∬ H r o t F . d S

Sabemos que

d S = n . d S = k   d S

e sabemos que

r o t F = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k

onde F = P i + Q j + R k .

Portanto,

∬ H r o t F . d S = ∬ H ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d S

Dado que o campo vetorial é

F x , y , z = x y z i + x y j + x 2 y z k

Nós temos que,

∬ H ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d S = ∬ H y - x z d S

Para todos os pontos na superfície sabemos que z = - 1

∬ H ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d S = ∬ H y + x d S

Passo 3

Observem que

d S = 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d x d y

d S = 1 + 0 2 + 0 2 d x d y

d S = d x d y

Substituindo e calculando o valor da integral:

∬ S y + x d S = ∫ - 1 1 ∫ - 1 1 y + x d x d y

∬ S y + x d S = ∫ - 1 1 y x + x 2 2 - 1 1 d y

∬ S y + x d S = ∫ - 1 1 2 y d y

∬ S y + x d S = [ y 2 ] - 1 1 = 0

Resposta

∬ S r o t F . d S = 0

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