Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.8 - Ex. 5
Use o Teorema de Stokes para calcular
consiste no topo e nas quatro laterais (mas não o fundo) do cubo com vértices , orientada para fora.
Passo 1
Pessoal, o Teorema de Stokes é dada por
onde é a curva fechada que forma a fronteira, simples, suave por partes e com orientação positiva.
A fronteira da superfície e o face do fundo do cubo são a mesma. Assim, pelo Teorema de Stokes nós podemos dizer que
onde é a superfície, é o fundo do cubo e o é a fronteira comum, que é o plano .
Ao invés de calcular a integral de linha de , que não é suave e consiste de quatro segmentos de reta, nós vamos calcular a integral de superfície através do fundo do cubo. O fundo deve ser orientado para cima. Mas por que? O Teorema de Stokes e a regra da mão direita nos diz que é orientada no sentido anti-horário. Novamente, o Teorema de Stokes e a regra da mão direita nos diz que é orientada para cima porque é orientada no sentido anti-horário.
Passo 2
Aplicando o Teorema de Stokes, temos:
Sabemos que
e sabemos que
onde .
Portanto,
Dado que o campo vetorial é
Nós temos que,
Para todos os pontos na superfície sabemos que
Passo 3
Observem que
Substituindo e calculando o valor da integral: