Enunciado

Verifique se o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial F e superfície S .

F x , y , z = - y i + x j - 2 k

S é o cone z 2 = x 2 + y 2 ,   0 ≤ z ≤ 4 , orientada para baixo.

Passo 1

Inicialmente, vamos calcular ∫ C F . d r . A fronteira de S é o círculo com a seguinte representação paramétrica:

r = 4 cos ⁡ t , 4 sen ⁡ t , 4 ,   0 ≤ t ≤ 2 π

d r = - 4 sen ⁡ t , 4 cos ⁡ t , 0 ,   0 ≤ t ≤ 2 π

Dado que o campo vetorial é

F = - y i + x j - 2 k

Substituindo os valores de r no campo vetorial, temos:

F r t = ( - 4 sen ⁡ t , 4 cos ⁡ t , - 2 )

Passo 2

Vamos calcular essa integral!

∫ C F . d r = ∫ 2 π 0 - 4 sen ⁡ t , 4 cos ⁡ t , - 2 ⋅ - 4 sen ⁡ t , 4 cos ⁡ t , 0 d t

∫ C F . d r = ∫ 2 π 0 16 sen 2 ⁡ t + 16 cos 2 ⁡ t d t

∫ C F . d r = 16 ∫ 2 π 0 d t = - 32 π

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor de ∬ S r o t ( F ) . d S . Se F = P i + Q j + R k , temos que

r o t F = R y - Q x i + P z - R x j + Q x - P y k

Dado que F = - y i + x j - 2 k , portanto:

r o t F = 0 - 0 i + 0 - 0 j + 1 - - 1 k = 2 k

Vamos fazer uso da seguinte igualdade:

∬ S G . d S = ∬ D - P ∂ g ∂ x - Q ∂ g ∂ y + R   d A

onde G = P i + Q j + R k . No entanto, a fórmula é usada quando a superfície é orientada para cima, ao invés de orientada para baixo. Logo, a nossa resposta precisa de um sinal negativo! Vamos calcular as derivadas parciais de z = x 2 + y 2 :

∂ g ∂ x = x x 2 + y 2

∂ g ∂ y = y x 2 + y 2

Assim,

∬ S r o t ( F ) . d S = ∬ D - ( 0 ) x x 2 + y 2 - ( 0 ) y x 2 + y 2 + ( 2 )   d A

∬ S r o t F . d S = 2 ∬ D d A

A região D é a projeção a superfície no plano x y . No nosso caso, é a região dentro da circunferência x 2 + y 2 = 4 2 ,   z = 0 . Além disso,

∬ D d A   é   a   á r e a   d o   c í r c u l o ,   q u e   é   i g u a l   a   π r 2 = 16 π

Logo,

∬ S r o t F . d S = 2 ∬ D d A = 32 π

A formula que usamos é para superfícies orientadas para cima. Agora, precisamos trocar o sinal para obter a resposta final!

∬ S r o t F . d S = 2 ∬ D d A = - 32 π

Resposta

É verdadeiro!

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