Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.8 - Ex. 13
Verifique se o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial e superfície .
é o cone , orientada para baixo.
Passo 1
Inicialmente, vamos calcular . A fronteira de é o círculo com a seguinte representação paramétrica:
Dado que o campo vetorial é
Substituindo os valores de no campo vetorial, temos:
Passo 2
Vamos calcular essa integral!
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor de . Se , temos que
Dado que , portanto:
Vamos fazer uso da seguinte igualdade:
onde . No entanto, a fórmula é usada quando a superfície é orientada para cima, ao invés de orientada para baixo. Logo, a nossa resposta precisa de um sinal negativo! Vamos calcular as derivadas parciais de :
Assim,
A região é a projeção a superfície no plano . No nosso caso, é a região dentro da circunferência . Além disso,
Logo,
A formula que usamos é para superfícies orientadas para cima. Agora, precisamos trocar o sinal para obter a resposta final!
Resposta
É verdadeiro!