Enunciado

Use o Teorema de Stokes para calcular ∫ C F . d r . Em cada caso, C é orientada no sentido anti-horário como visto acima.

F x , y , z = x y i + ( y z ) j + ( z x ) k

C é a fronteira de parte do paraboloide z = 1 - x 2 - y 2 no primeiro octante.

Passo 1

Pessoal, o Teorema de Stokes é dada por

∬ S r o t F . d S = ∫ C F . d r

onde C é a curva fechada que forma a fronteira, simples, suave por partes e com orientação positiva.

Por definição,

r o t F = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k

onde F = P i + Q j + R k . Assim, temos:

r o t F = - y i + - z j + - x k

Se a superfície S é da forma z = g ( x , y ) e é orientada para cima, podemos usar a seguinte formula

∬ S F . d S = ∬ D - P ∂ g ∂ x - Q ∂ g ∂ y + R   d A

Sabemos que S faz parte do plano z = 1 - x 2 - y 2 e que D é a projeção da superfície no plano x y .

Passo 2

Aplicando o Teorema de Stokes, temos:

∬ S F . d S = ∬ D - - y - 2 x - - z - 2 y + - x d A

∬ S F . d S = ∬ D - 2 x y - 2 y z - x   d A

Substituindo z = 1 - x 2 - y 2

∬ S F . d S = ∬ D - 2 x y - 2 y ( 1 - x 2 - y 2 ) - x   d A

∬ S F . d S = ∬ D - 2 x y - 2 y + 2 y ( x 2 + y 2 ) - x   d A

D é a projeção de S no plano x y , certo? D vai ser a região dentro do círculo x 2 + y 2 = 1 no primeiro quadrante. Vamos passar aqui as variáveis para coordenadas cilíndricas, para facilitar nossa vida!

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

Assim,

∬ S F . d S = ∫ 0 π 2 ∫ 0 1 - 2 r cos ⁡ θ r sen ⁡ θ - 2 r sen ⁡ θ + 2 r sen ⁡ θ r 2 - r cos ⁡ θ r d r d θ

∬ S F . d S = ∫ 0 π 2 ∫ 0 1 - r 3 sin ⁡ 2 θ - 2 r 2 sin ⁡ θ + 2 r 4 sin ⁡ θ - r 2 cos ⁡ θ d r d θ

∬ S F . d S = ∫ 0 π / 2 - r 4 sin ⁡ 2 θ 4 - 2 r 3 sin ⁡ θ 3 + 2 r 5 sin ⁡ θ 5 - r 3 c o s θ 3 0 1 d θ

Vamos lá que tá quase acabando!

∬ S F . d S = ∫ 0 π / 2 - sin ⁡ 2 θ 4 - 2 sin ⁡ θ 3 + 2 sin ⁡ θ 5 - c o s θ 3 d θ

∬ S F . d S = cos ⁡ 2 θ 8 + 2 cos ⁡ θ 3 - 2 cos ⁡ θ 5 - sin ⁡ θ 3 0 π 2

∬ S F . d S = - 1 8 + 0 - 0 - 1 3 - 1 8 + 2 3 - 2 5 - 0 = - 17 / 20

Resposta

∫ C F . d r = - 17 20

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6. Seja F = ( P,Q,R ) de classe C 1 no aberto R 3 -{ ( 0,0 ,0 ) } . Seja σ a fronteira do conjunto K={ ( x ,y ,z )∈R 3|x ²+y ²-1≤z≤1-x ² -y ² } ² ² ² ² com normal apontando para fora de K. Mostre que