Enunciado

Use o teorema de Stokes para calcular ∬ S c u r l   F → ⋅ d S .

F → x , y , z = x 2 y 3 z i → + s e n ( x y z ) j → + x y z k → , S é a parte do cone y 2 = x 2 + z 2 que está entre os planos y = 0   e   y = 3 , orientado no sentido positivo do eixo y .

Passo 1

Oi galera, tudo bem? A primeira coisa aqui a se fazer é determinar a fronteira y = 3 . Como é um círculo:

x 2 + z 2 = 9

Vou preferir usar a forma do teorema que diz ∫ C F → ⋅ d r → . Uma parametrização possível é:

r → t = 3 c o s t i → + 3 j → + 3 s e n t k →

E o campo em função dessa nova parametrização fica:

F → x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) = x 2 y 3 z i → + s e n ( x , y , z ) j → + x y z k → = 729 cos 2 ⁡ t   s e n t i → + s e n ( 27   c o s t   s e n t ) j → + 27 s e n t   c o s t   k →

Passo 2

E o vetor d r → ? Ele é d   r → = r → ' ( t ) d t , então remos que calcular r → ' ( t ) :

r → t = 3 c o s t i → + 3 j → + 3 s e n t k →

r → ' t = - 3 s e n t i → + 0 j → + 3 c o s t k →

E o produto escalar entre F → t ⋅ r → ' ( t ) é:

729 cos 2 ⁡ t   s e n t , s e n 27   c o s t   s e n t , 27 s e n t   c o s t   ⋅ - 3 s e n t , 0 ,   3 c o s t = - 2187 cos 2 ⁡ t s e n 2 t + 81   c o s 2 t   s e n t

Com 0 ≤ t ≤ 2 π .

Passo 3

Legal! O próximo passo é colocar na integral!

∫ C F → ⋅ d r → = ∫ 0 2 π - 2187 cos 2 ⁡ t s e n 2 t   d t + ∫ 0 2 π 81   c o s 2 t   s e n t   d t

Vamos resolver as duas separadamente, então a primeira integral fica:

∫ 0 2 π - 2187 cos 2 ⁡ t s e n 2 t   d t = ∫ 0 2 π - 2187 1 - s e n 2 t s e n 2 t   d t = ∫ 0 2 π - 2187 s e n 2 t   d t + ∫ 0 2 π 2187 s e n 4 t   d t

E consultando numa tabela de integrais temos:

∫ 0 2 π - 2187 cos 2 ⁡ t s e n 2 t   d t = - 2187 1 2 t - 1 4 s e n 2 t 0 2 π - 12 32 t - 8 32 s e n 2 t + 1 32 s e n 4 x 0 2 π

Aplicando os limites, vemos que os termos que tem a função seno se anulam, então temos:

∫ 0 2 π - 2187 cos 2 ⁡ t s e n 2 t   d t = - 2187 2 π 2 - 12 2 π 32 = - 2187 π - 3 4 π = - 2187 π 4

Agora a segunda integral, por substituição simples:

∫ 0 2 π 81   c o s 2 t   s e n t   d t = 81 . c o s t 3 3 0 2 π = 27 cos ⁡ 2 π - cos ⁡ 0 3 = 27 1 - 1 = 0

Agora juntando os resultados temos:

∫ C F → ⋅ d r → = - 2187 π 4

Resposta

∫ C F → ⋅ d r → = - 2187 π 4

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