Use o teorema de Stokes para calcular ∬ S c u r l   F → ⋅ d S .

F(x, y, z) = e^(xy) \* cos(z) i + x^2z j + xy k , S é o hemisfério x = raiz(1 - y^2 - z^2) orientado na direção positiva do eixo x . (Sugestão: use a equação 3 .)

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado quer que a gente calcule ∬ S c u r l   F → ⋅ d S , através do Teorema de Stokes.

Esse Teorema relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial ( ∇ × F → ) sobre uma superfície S com a integral de linha do campo vetorial ( F → ) ao longo da curva de fronteira C dessa superfície:

∬ S ∇ × F → ⋅ d S = ∮ C F → ⋅ d r →

No nosso caso, F → x , y , z = e x y cos ⁡ z i → + x 2 z j → + x y k → e S é o hemisfério x = 1 - y 2 - z 2 orientado na direção positiva do eixo x .

Além disso, o enunciado nos dá a dica de usar a equação:

∬ S 1 r o t   F → ⋅ d S = ∬ C F → ⋅ d r → = ∬ S 2 r o t   F → ⋅ d S  

Essa sugestão indica que podemos substituir a superfície S por uma superfície S 2 mais simples, desde que ambas tenham a mesma curva de fronteira C .

Repare que a curva x = 1 - y 2 - z 2 também pode ser escrita como x 2 = 1 - y 2 - z 2 , o que nos dá:

x 2 + y 2 + z 2 = 1

Esta é a equação de uma esfera de raio R = 1 centrada na origem. Como x = … (raiz positiva), a superfície S é a metade da esfera no semiespaço onde x ≥ 0 . A orientação é na direção positiva do eixo x (para fora, na direção de x crescente).

Com base nisso tudo, vamos definir a curva de fronteira C , uma superfície alternativa S 2 e parametrizar a curva C . Depois, vamos calcular pela integral de linha ∮ C F → ⋅ d r → e verificar nosso resultado.

Vamos lá!

Passo 2

A curva de fronteira C do hemisfério é a intersecção de S com o plano x = 0 . Então, vamos ter:

0 = 1 - y 2 - z 2  

0 = 1 - y 2 - z 2

y 2 + z 2 = 1

Assim, a curva C é um círculo unitário no plano y z (onde x = 0 ).

Então, para simplificar o cálculo, escolhemos S 2 como o disco que preenche a curva C no plano x = 0 :

S 2 : x = 0 ,     o n d e   y 2 + z 2 ≤ 1

O Teorema de Stokes exige que a orientação de C (curva de fronteira) seja consistente com a orientação de S . Então, S está orientada na direção positiva de x (vetor normal n → aponta para + x ).

Pela regra da mão direita, se você enrolar os dedos na direção da fronteira C , o polegar deve apontar na direção do vetor normal de S (ou S 2 ).

Como n → = i → (direção positiva de x ), a curva C deve ser percorrida no sentido anti-horário quando vista do semi-espaço x > 0 (ou seja, quando vista da origem ao longo do eixo x ).

Quando projetamos C no plano y z (onde x = 0 ), o sentido anti-horário corresponde ao movimento de y → z → - y → - z .

Passo 3

Agora vamos parametrizar C no plano y z . Pra isso, vamos definir:

x t = 0 y t = cos ⁡ t z t = sin ⁡ t

Onde 0 ≤ t ≤ 2 π .

Agora vamos calcular a integral de linha ∮ C F → ⋅ d r → . Mas antes a gente precisa saber como é o nosso campo vetorial em C . A gente sabe que ele é dado por:

F → x , y , z = e x y cos ⁡ z i → + x 2 z j → + x y k →

Como x = 0 em C , vamos ter:

F → 0 , y , z = e 0 ⋅ y cos ⁡ z i → + ( 0 ) 2 z j → + 0 ⋅ y k →

F → 0 , y , z = 1 ⋅ cos ⁡ z i → + 0 j → + 0 k →

F → 0 , y , z = cos ⁡ z i →

O elemento d r → é dado por:

d r → = d x d t i ^ + d y d t j ^ + d z d t k ^ d t

Como x t = 0 , y t = cos ⁡ t e z t = sin ⁡ t , temos:

d x d t = 0 d y d t = - s in ⁡ t d z d t = cos ⁡ t

Logo,

d r → = 0 i ^ - sin ⁡ t j ^ + cos ⁡ t k ^ d t

Passo 4

Calculando o produto escalar de F → ⋅ d r → , teremos:

F → ⋅ d r → = cos ⁡ z i → ⋅ 0 i ^ - sin ⁡ t j ^ + cos ⁡ t k ^ d t

F → ⋅ d r → = cos ⁡ z ⋅ 0 - 0 ⋅ - sin ⁡ t + 0 ⋅ cos ⁡ t   d t

Logo,

F → ⋅ d r → = 0   d t

Dessa forma, a integral de linha vai ficar:

∬ S ∇ × F → ⋅ d S = ∮ C F → ⋅ d r → = ∫ 0 2 π 0 d t

Logo,

∬ S ∇ × F → ⋅ d S = 0

Portanto, o Teorema de Stokes permitiu simplificar o cálculo da integral de superfície para uma integral de linha ao longo da fronteira, que resultou em zero devido à natureza do campo vetorial na curva C e aí nós temos:

∬ S c u r l   F → ⋅ d S → = 0

A integral de linha é o caminho mais rápido nesse caso. Mas se a gente calculasse pelo rotacional, o resultado seria o mesmo.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

∬ S c u r l   F → ⋅ d S → = 0

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