Enunciado

Use o teorema de Stokes para calcular ∬ S c u r l   F → ⋅ d S .

F → x , y , z = e x y cos ⁡ z i → + x 2 z j → + x y k → , S é o hemisfério x = 1 - y 2 - z 2 orientado na direção positiva do eixo x . (Sugestão: use a equação 3 .)

Passo 1

A curva C é um círculo de raio 1 , assim , pela fórmula 3 temos:

∬ S 1 c u r l   F → ⋅ d S = ∬ S 2 c u r l   F → ⋅ d S

Onde S 1 é o hemisfério original, sem o fundo e S 2 é a esfera inteira. O legal dessa igualdade é que tu podes simplificar tua vida escolhendo uma superfície mais fácil de integrar, desde que as duas superfícies sejam limitadas pela mesma curva de fronteira.

Sendo assim, o rotacional de F → é:

∇ × F → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z e x y c o s z x 2 z x y = i   → ∂ ∂ y ( x y ) - ∂ ∂ z ( x 2 z ) + j → ∂ ∂ z ( e x y c o s z ) - ∂ ∂ x ( x y ) + k → ∂ ∂ x ( x 2 z ) - ∂ ∂ y ( e x y c o s z )

∇ × F → = x - x 2 ,   - e x y s e n z - y , 2 x z - x e x y c o s z

Passo 2

O vetor normal tem a mesma orientação que i → , no sentido anti-horário visto de cima. Assim o produto escalar entre ∇ × F → e i → fica:

∇ × F → ⋅ i → = x - x 2 ,   - e x y s e n z - y , 2 x z - x e x y c o s z ⋅ 1,0 , 0 = x - x 2

Passo 3

Legal! O próximo passo é determinar a região de integração. Como é um círculo em y z , em coordenadas esféricas: y = r c o s θ ; z = r s e n θ ; x = 1 - r 2

0 ≤ r ≤ 1 0 ≤ θ ≤ 2 π

E o elemento de área vai ser: d A = r d r d θ

Passo 4

Agora é colocar tudo na integral:

∬ S c u r l   F → ⋅ d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 1 - r 2 - 1 - r 2 r d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 1 - r 2 d r d θ - ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r   d r d θ + ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3   d r d θ

Vamos resolver cada integral separadamente. Então a primeira do lado direito, por substituição:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 1 - r 2 d r d θ = ∫ 0 2 π - 1 3 1 - r 2 3 2 0 1 d θ = ∫ 0 2 π - 1 3 1 - 1 + 1 3 1 - 0 d θ = 1 3 ∫ 0 2 π d θ = 2 π 3

A segunda fica:

- ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r   d r d θ = - ∫ 0 2 π r 2 2 0 1 d θ = - 1 2 ∫ 0 2 π d θ = - 2 π 2 = - π

E a terceira:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3   d r d θ = ∫ 0 2 π r 4 4 0 1 d θ = 1 4 ∫ 0 2 π d θ = 2 π 4 = π 2

Juntando todos os resultados temos:

∬ S c u r l   F → ⋅ d S = 2 π 3 - π + π 2 = π 6

∬ S c u r l   F → ⋅ d S = π 6

Resposta

∬ S c u r l   F → ⋅ d S = π 6

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