Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.8 - Ex. 6
Use o teorema de Stokes para calcular .
, S é o hemisfério orientado na direção positiva do eixo . (Sugestão: use a equação .)
Passo 1
A curva é um círculo de raio , assim , pela fórmula temos:
Onde é o hemisfério original, sem o fundo e é a esfera inteira. O legal dessa igualdade é que tu podes simplificar tua vida escolhendo uma superfície mais fácil de integrar, desde que as duas superfícies sejam limitadas pela mesma curva de fronteira.
Sendo assim, o rotacional de é:
Passo 2
O vetor normal tem a mesma orientação que , no sentido anti-horário visto de cima. Assim o produto escalar entre e fica:
Passo 3
Legal! O próximo passo é determinar a região de integração. Como é um círculo em , em coordenadas esféricas:
E o elemento de área vai ser:
Passo 4
Agora é colocar tudo na integral:
Vamos resolver cada integral separadamente. Então a primeira do lado direito, por substituição:
A segunda fica:
E a terceira:
Juntando todos os resultados temos:
Resposta
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