Use o teorema de Stokes para calcular .
, S é o hemisfério orientado na direção positiva do eixo . (Sugestão: use a equação .)
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado quer que a gente calcule , através do Teorema de Stokes.
Esse Teorema relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial () sobre uma superfície com a integral de linha do campo vetorial () ao longo da curva de fronteira dessa superfície:
No nosso caso, e é o hemisfério orientado na direção positiva do eixo .
Além disso, o enunciado nos dá a dica de usar a equação:
Essa sugestão indica que podemos substituir a superfície por uma superfície mais simples, desde que ambas tenham a mesma curva de fronteira .
Repare que a curva também pode ser escrita como , o que nos dá:
Esta é a equação de uma esfera de raio centrada na origem. Como (raiz positiva), a superfície é a metade da esfera no semiespaço onde . A orientação é na direção positiva do eixo (para fora, na direção de crescente).
Com base nisso tudo, vamos definir a curva de fronteira , uma superfície alternativa e parametrizar a curva . Depois, vamos calcular pela integral de linha e verificar nosso resultado.
Vamos lá!
Passo 2
A curva de fronteira do hemisfério é a intersecção de com o plano . Então, vamos ter:
Assim, a curva é um círculo unitário no plano (onde ).
Então, para simplificar o cálculo, escolhemos como o disco que preenche a curva no plano :
O Teorema de Stokes exige que a orientação de (curva de fronteira) seja consistente com a orientação de . Então, está orientada na direção positiva de (vetor normal aponta para ).
Pela regra da mão direita, se você enrolar os dedos na direção da fronteira , o polegar deve apontar na direção do vetor normal de (ou ).
Como (direção positiva de ), a curva deve ser percorrida no sentido anti-horário quando vista do semi-espaço (ou seja, quando vista da origem ao longo do eixo ).
Quando projetamos no plano (onde ), o sentido anti-horário corresponde ao movimento de .
Passo 3
Agora vamos parametrizar no plano . Pra isso, vamos definir:
Onde .
Agora vamos calcular a integral de linha . Mas antes a gente precisa saber como é o nosso campo vetorial em . A gente sabe que ele é dado por:
Como em , vamos ter:
O elemento é dado por:
Como , e , temos:
Logo,
Passo 4
Calculando o produto escalar de , teremos:
Logo,
Dessa forma, a integral de linha vai ficar:
Logo,
Portanto, o Teorema de Stokes permitiu simplificar o cálculo da integral de superfície para uma integral de linha ao longo da fronteira, que resultou em zero devido à natureza do campo vetorial na curva e aí nós temos:
A integral de linha é o caminho mais rápido nesse caso. Mas se a gente calculasse pelo rotacional, o resultado seria o mesmo.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉