Enunciado

Use o teorema de Stokes para calcular ∬ S c u r l   F → ⋅ d S .

F → x , y , z = x 2 z 2 i → + y 2 z 2 j → + x y z k → , S é a parte do paraboloide z = x 2 + y 2 que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 4 , orientado para cima.

Passo 1

Oi galera, tudo bem? A primeira coisa aqui a se fazer é determinar a fronteira. Como é um círculo:

x 2 + y 2 = 4

Vou preferir usar a forma do teorema que diz ∫ C F → ⋅ d r → . Uma parametrização possível é:

r → t = 2 c o s t i → + 2 s e n t j → + 4 k →

E o campo em função dessa nova parametrização fica:

F → x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) = x 2 z 2 i → + y 2 z 2 j → + x y z k → = 64 cos 2 ⁡ t i → + 64 s e n 2 t j → + 16 s e n t   c o s t   k →

Passo 2

E o vetor d r → ? Ele é d   r → = r → ' ( t ) d t , então remos que calcular r → ' ( t ) :

r → t = 2 c o s t i → + 2 s e n t j → + 4 k →

r → ' t = - 2 s e n t i → + 2 c o s t j → + 0 k →

E o produto escalar entre F → t ⋅ r → ' ( t ) é:

64 cos 2 ⁡ t , 64 s e n 2 t , 16 s e n t   c o s t   ⋅ - 2 s e n t ,   2 c o s t ,   0 = - 128 cos 2 ⁡ t s e n t + 128 s e n 2 t   c o s t + 0

Com 0 ≤ t ≤ 2 π .

Passo 3

Legal! O próximo passo é colocar na integral!

∫ C F → ⋅ d r → = ∫ 0 2 π - 128 cos 2 ⁡ t s e n t   d t + ∫ 0 2 π 128 sen 2 ⁡ t c o s t   d t

Resolvemos ambas por substituição simples, então:

∫ C F → ⋅ d r → = + 128 . c o s t 3 3 0 2 π + 128 . s e n t 3 3 0 2 π = 128 3 cos 3 ⁡ 2 π ⁡ - cos 3 ⁡ 0 + 128 3 sen 3 ⁡ 2 π ⁡ - sen 3 ⁡ 0 = 128 3 1 - 1 + 128 3 0 - 0 = 0

Resposta

∬ S c u r l   F → ⋅ d S = 0

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