Enunciado

Use o teorema do valor médio para integrais para provar a desigualdade:

0 ≤ ∫ 2 5 1 x 3 + 1 d x ≤ 1 3

Passo 1

O teorema do valor médio para integrais diz que se temos uma função f contínua num intervalo [ a , b ] , vai existir um número χ dentro do intervalo para o qual:

∫ a b f x d x = f ( χ ) ( b - a )

O primeiro passo para a resolução da questão é então usar o teorema para comparar o valor da integral com esse número χ no intervalo [ 2 ,   5 ] .

Passo 2

Aplicando o teorema, temos a seguinte igualdade:

∫ 2 5 1 x 3 + 1 d x = 1 χ 3 + 1 ( 5 - 2 ) = 3 χ 3 + 1

Pra χ ∈ [ 2 ,   5 ] é claro que o valor 3 χ 3 + 1 é maior que zero. Além disso, o maior valor que a expressão pode ter é 3 2 2 + 1 = 3 9 = 1 3 . Então fica provado que 0 ≤ ∫ 2 5 1 x 3 + 1 d x ≤ 1 3   .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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