Enunciado

Use o teorema do valor médio para integrais para provar a desigualdade:

∫ - π / 6 π / 6 cos 2 ⁡ x d x ≤ π 3

Passo 1

O teorema do valor médio para integrais diz que se temos uma função f contínua num intervalo [ a , b ] , vai existir um número χ dentro do intervalo para o qual:

∫ a b f x d x = f ( χ ) ( b - a )

O primeiro passo para a resolução da questão é então usar o teorema para comparar o valor da integral e desse número χ no intervalo [ - π 6 , π 6 ] .

Passo 2

Aplicando o teorema, temos a seguinte igualdade:

∫ - π / 6 π / 6 cos 2 ⁡ x d x = cos 2 ⁡ χ π 6 - - π 6 = cos 2 ⁡ χ ⋅ 2 π 6 = cos 2 ⁡ χ ⋅ π 3

Agora basta provarmos que esse valor é de fato menor que π 3 . Qualquer que seja o número χ , temos - 1 ≤ cos ⁡ χ ≤ 1 , e consequentemente cos 2 ⁡ χ ≤ 1 . Logo, chegamos à conclusão que cos 2 ⁡ χ ⋅ π 3 ≤ π 3 , como queríamos demonstrar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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