Enunciado

Use o teorema do valor médio para integrais para provar a desigualdade:

∫ 0 π sen ⁡ x d x ≤ π

Passo 1

O teorema do valor médio para integrais diz que se temos uma função f contínua num intervalo [ a , b ] , vai existir um número χ dentro do intervalo para o qual:

∫ a b f x d x = f ( χ ) ( b - a )

O primeiro passo para a resolução da questão é então usar o teorema para comparar o valor da integral com esse número χ no intervalo [ 0 ,   π ] .

Passo 2

Aplicando o teorema, temos a seguinte igualdade:

∫ 0 π sen ⁡ x d x = sen ⁡ χ π - 0 = π sen ⁡ χ

Agora basta provarmos que esse valor é de fato menor que π . Qualquer que seja o número χ em [ 0 ,   π ] , temos 0 ≤ sen ⁡ √ χ ≤ 1 . Logo, chegamos à conclusão que π sen ⁡ χ ≤ π , como queríamos demonstrar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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