Encontre o valor médio de f(x) = x^2 \* ln(x) no intervalo [1,3] .

Passo 1

Queremos calcular o valor médio da função no intervalo dado. Relembrando, o valor médio de uma função f num intervalo [ a , b ] é dado por

M = 1 b - a   ∫ a b f x   d x

Assim, o que precisamos fazer é calcular a integral da função no intervalo e dividir pelo tamanho do intervalo. Desta forma,

M = 1 3 - 1   ∫ 1 3 x 2 ln ⁡ x   d x = 1 2 ∫ 1 3 x 2 ln ⁡ x   d x

Para calcular essa integral, vamos precisar usar integração por partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Passo 2

Chamando u = ln ⁡ x (pois sua derivada é simples) e d v = x 2 d x , temos que d u = 1 x d x e v = x 3 3 . Assim, a integral fica

∫ 1 3 x 2 ln ⁡ x   d x = x 3 3 ln ⁡ x 1 3 - 1 3 ∫ 1 3 x 3 ⋅ 1 x d x = 9 ln ⁡ 3 - 1 3 ln ⁡ 1 - 1 3 ∫ 1 3 x 2 d x

Passo 3

Desta forma,

∫ 1 3 x 2 ln ⁡ x   d x = 9 ln ⁡ 3 - 1 9   x 3 1 3 = 9 ln ⁡ 3 - 1 9 ⋅ 27 + 1 9 = 9 ln ⁡ 3 - 26 9

Assim, o valor médio será

M = 1 2 ∫ 1 3 x 2 ln ⁡ x   d x = 9 2 ln ⁡ 3 - 13 9

Resposta

9 2 ln ⁡ 3 - 13 9

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