Enunciado

Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.

5-

∑ n = 1 ∞ 1 3 n + 1  

Passo 1

Primeiramente temos que fazer a integral de uma função que aceite valores diferentes dos números naturais, para isso vamos usar a variável x ao invés de n . E a somatória ao invés da integral.

∫ 1 ∞ 1 3 x + 1   d x  

Passo 2

Se encontrarmos um número ao invés de como resposta então a função converge. Função essa que é decrescente e contínua.

Aplicando a substituição:

u = 3 x + 1

Teremos:

d u = 3 d x

Logo:

∫ 1 u d u = ln ⁡ u

Logo se voltarmos para o domínio de x teremos:

[ ln ⁡ ( 3 x + 1 ) ]   1 ∞

Aplicando o intervalo teremos:

ln ⁡ ∞ - ln ⁡ 1 = ∞

Como deu infinito a integral, isso significa que a série também será infinita, o que dá uma série divergente.

Resposta

Série divergente.

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