Enunciado

Use o Teste da Raiz para determinar se a série é convergente ou divergente.

28. ∑ n = 1 ∞ - 2 n n + 1 5 n

Passo 1

O teste da raiz afirma que se L < 1 do limite:

lim n → ∞ ⁡ a n n = L

A série é convergente, mas se L > 1 , a série é divergente.

Aplicando na nossa série, a gente fica com:

L = lim n → ∞ ⁡ - 2 n n + 1 5 n n

Como todos os números são positivos, menos o - 2 , podemos colocar o módulo nele:

L = lim n → ∞ ⁡ | - 2 | n n + 1 5 n n

E quanto tirarmos, o sinal ficará positivo:

L = lim n → ∞ ⁡ 2 n n + 1 5 n n

Agora podemos cortar o n da potência com a raiz, sobrando só:

L = l i m n → ∞ 2 n n + 1 5

Passo 2

Se aplicarmos o limite, teremos uma indeterminação do tipo ∞ / ∞ , vamos colocar n em evidência no denominador para resolvermos isso:

L = l i m n → ∞ 2 n n 1 + 1 n 5

Cortando os n :

L = l i m n → ∞ 2 1 + 1 n 5

Passo 3

Aí sim aplicamos o limite, os termos 1 / n tendem para zero, sobrando só:

L = 2 1 5 = 2 5

Que é maior que 1, então a série é divergente.

Resposta

D i v e r g e n t e

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