Enunciado

Use o Teste da Razão para determinar se a série é convergente ou divergente.

21. 1 - 2 ! 1 ∙ 3 + 3 ! 1 ∙ 3 ∙ 5 - 4 ! 1 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 + … + - 1 n - 1 n ! 1 ∙ 3 ∙ 5 ∙   ⋯   ∙ 2 n - 1 + …

Passo 1

Pelo termo dado no meio da soma, nossa série vai ter a seguinte cara:

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n ! 1 ∙ 3 ∙ 5 ∙   ⋯   ∙ 2 n - 1

E pelo teste da razão:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

Se L < 1 , a série converge, e se L > 1 , diverge.

Pela série que temos, o teste fica assim:

L = lim n → ∞ ⁡ - 1 n n + 1 ! 1 ∙ 3 ∙ 5 ∙   ⋯   ∙ 2 n - 1 2 n + 1 - 1 - 1 n - 1   n ! 1 ∙ 3 ∙ 5 ∙   ⋯   ∙ 2 n - 1

Reescrevendo a razão como o produto entre o numerador e o inverso do denominador:

L = l i m n → ∞ - 1 n n + 1 ! 1 ∙ 3 ∙ 5 ∙   ⋯   ∙ 2 n - 1 2 n + 1   1 ∙ 3 ∙ 5 ∙   ⋯   ∙ 2 n - 1 - 1 n - 1   n !

E tirando do módulo, os termos - 1 n e - 1 n - 1 , perderão o sinal alternado, resultando em 1 para cada membro da sequência, então podemos fazer eles desaparecerem:

L = l i m n → ∞ n + 1 ! 1 ∙ 3 ∙ 5 ∙   ⋯   ∙ 2 n - 1 2 n + 1   1 ∙ 3 ∙ 5 ∙   ⋯   ∙ 2 n - 1   n !

Simplificando os termos dos produtos:

L = l i m n → ∞ n + 1 ! 2 n + 1 1 n ! = l i m n → ∞ n + 1 ! 2 n + 1 n !

Passo 2

Se aplicarmos o limite agora, teremos uma indeterminação do tipo ∞ / ∞ , vamos então abrir o fatorial do numerador para podermos simplificar ele:

L = l i m n → ∞ n + 1 n ! 2 n + 1 n ! = l i m n → ∞ n + 1 2 n + 1

Como ainda estamos com a mesma indeterminação, colocamos o n em evidencia no denominador e no numerador:

L = l i m n → ∞ n 1 + 1 n n 2 + 1 n

E simplificamos:

L = l i m n → ∞ 1 + 1 n 2 + 1 n

Passo 3

Agora sim podemos aplicar o limite, pois os termos 1 n tendem para zero, e só sobra:

L = 1 2

Que é menor que 1, o que significa que a série é convergente.

Resposta

C o n v e r g e n t e

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