Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 11.6 - Ex. 24
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Pessoal, como ali na série temos algo elevado a , pode ser que o Teste da Raiz nos ajude, não é mesmo? Bora tentar?
Parece um limite difícil de resolver né?
Passo 2
Pra poder usar L’Hôpital, vamos tentar primeiro calcular a derivada de :
Aplicamos o logaritmo nos dois lados:
Agora derivamos cada lado implicitamente, sendo nosso objetivo isolar :
Passo 3
Agora podemos aplicar L’Hôpital:
Usando o Teorema do Confronto, a gente vê que cada um desses limites é zero:
Então, . Analogamente,
Assim, , e temos:
Como , pelo Teste da Raiz, podemos afirmar que a série é absolutamente convergente, e portanto, convergente.
Resposta
Série absolutamente convergente
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Para quais das seguintes séries o Teste da Razão não é conclusivo (isto é, ele não dá uma resposta definida)?c) ∑ n = 1 ∞ - 3 n n
Determine se a série 1 - 1 ⋅ 3 3 ! + 1 ⋅ 3 ⋅ 5 5 ! -1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 7 ! + … + - 1 n - 1 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ 2 n - 1 2 n - 1 ! + … é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Determine se a série ∑ n = 1 ∞ 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ … ⋅ 2 n n ! é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Para quais das seguintes séries o Teste da Razão não é conclusivo (isto é, ele não dá uma resposta definida)?d) ∑ n = 1 ∞ n 1 + n 2
Para quais das seguintes séries o Teste da Razão não é conclusivo (isto é, ele não dá uma resposta definida)?b) ∑ n = 1 ∞ n 2 n