Enunciado

Use o Teste da Razão para determinar se a série é convergente ou divergente.

10. ∑ n = 0 ∞ - 3 n 2 n + 1 !

Passo 1

O teste da razão é:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

Sendo a n a sequência da série. Se L > 1 a série é divergente, e se L < 1 a série será convergente. Aplicando ele na série dada, ficamos com:

L = lim n → ∞ ⁡ - 3 n + 1 2 ( n + 1 ) + 1 ! - 3 n 2 n + 1 ! = l i m n → ∞ - 3 n + 1 2 n + 3 ! 2 n + 1 ! - 3 n

Vamos agora simplificar um pouco o que encontramos, cortando o - 3 n :

L = l i m n → ∞ - 3 2 n + 1 ! 2 n + 3 !

Aplicando o módulo:

L = l i m n → ∞ 3 2 n + 1 ! 2 n + 3 !

Abrindo o fatorial do denominador:

L = l i m n → ∞ 3 2 n + 1 ! 2 n + 3 2 n + 2 2 n + 1 !

Simplificando de novo:

L = l i m n → ∞ 3 2 n + 3 2 n + 2

Passo 2

Bom, agora precisamos resolver o limite, nesse caso é fácil, pois como n aparece só no denominador, então se n → ∞ , tudo tende para zero, então:

L = 0

E como L < 1 , a série é absolutamente convergente.

Resposta

C o n v e r g e n t e

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