Enunciado

Use a transformada de Laplace para determinar a carga no capacitor em um circuito em série R-C se q 0 = q 0 , R = 10   o h m s , C = 0,1   f a r a d e E ( t ) é a voltagem dada na figura 7.43

Passo 1

E aíí meu povo!!

Aqui temos que resolver essa equação:

R d q d t + 1 C q = E ( t )

Encontrando q ( t ) para E t = 30 e t - 30 e t u ( t - 1.5 ) e q 0 = q 0

Para fazer isso, vamos usar transformadas de Laplace beleza?

Mas antes de começarmos, vamos lembrar algumas Transformadas de Laplace:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

E vamos lembrar também que a convolução ∫ 0 t f t - τ g t d τ no domínio do tempo é a multiplicação no domínio s , certo?

Vamos lá então?

Passo 2

Vamos fazer a Transformada de Laplace da equação:

10 d q d t + 1 0.1 q = 30 e t - 30 e t u ( t - 1.5 )

10 s . Q s - q 0 + 10 Q s = 30 s - 1 - 30 e 1.5 s - 1.5 e - 1.5 s

Dividindo tudo por 10:

s . Q s - q 0 + Q s = 3 s - 1 - 3 e 1.5 s - 1.5 e - 1.5 s

Q s s + 1 = 3 s - 1 - 3 e 1.5 s - 1.5 e - 1.5 s + q 0

Isolando Q ( s ) :

Q s = 3 ( s - 1 ) s + 1 - 3 e 1.5 s - 1.5 s + 1 e - 1.5 s + q 0 s + 1

Fazendo a transformada inversa, temos

q t = q 0 - 3 2 e - t + 3 2 e t + 6 5 e 1.5 e - t - 1.5 - e 1.5 t - 1.5 u t - 1.5

E fimmmm

Resposta

q t = q 0 - 3 2 e - t + 3 2 e t + 6 5 e 1.5 e - t - 1.5 - e 1.5 t - 1.5 u t - 1.5

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