Enunciado

Use a transformada de Laplace para determinar a carga no capacitor em um circuito em série R-C se q 0 = 0 , R = 2,5   o h m s , C = 0 , 08   f a r a d e E ( t ) é a voltagem dada na figura 7.44

Passo 1

E aíí meu povo!!

Aqui temos que resolver essa equação:

R d q d t + 1 C q = E ( t )

Encontrando q ( t ) para E t = 5 u ( t - 3 ) e q 0 = 0

Para fazer isso, vamos usar transformadas de Laplace beleza?

Mas antes de começarmos, vamos lembrar algumas Transformadas de Laplace:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

E vamos lembrar também que a convolução ∫ 0 t f t - τ g t d τ no domínio do tempo é a multiplicação no domínio s , certo?

Vamos lá então?

Passo 2

Vamos fazer a Transformada de Laplace da equação:

2.5 d q d t + 1 0,08 q = 5 u ( t - 3 )

2,5 s . Q s - 0 + 12,5 Q s = 5 s e - 3 s

Q s . 2,5 s + 12,5 = 5 s e - 3 s

Isolando Q ( s ) :

Q s = 5 s 2,5 s + 12,5 e - 3 s

Dividindo em cima e embaixo por 2,5 :

Q s = 2 s s + 5 e - 3 s

Fazendo a transformada inversa, temos

q t = 2 5 u t - 3 - 2 5 e - 5 t - 3 u ( t - 3 )

E fimmmm

Resposta

q t = 2 5 u t - 3 - 2 5 e - 5 t - 3 u ( t - 3 )

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Resolva a equação (6) sujeita a i 0 = 0 , em que E ( t ) é a voltagem dada na figura 7.47. [Sugestão: Veja o problema 31, Exercício 7.4.]
Nos problemas 29-38, use a transformada de Laplace para resolver a equação integral dada ou a equação íntegro-diferencial. d y d t + 6 y t + 9 ∫ 0 t y τ d τ = 1 , y 0 = 0
Use a transformada de Laplace para determinar a carga q ( t ) no capacitor em um circuito em série L-C quando q 0 = 0 ,i 0 = 0 e E t = E 0 . e - k t , k0
Um peso de 4k g distende uma mola em 2c m . O peso é solto na posição de equilíbrio a partir do repouso. Determine a equação de movimento se uma força externa f t = s e n ( t ) age sobre o sistema dur
Use a transformada para determinar a corrente i ( t ) em um circuito em série L-R quando i 0 = 0 , L = 1h e n r y , R = 10o h m s e E ( t ) é a voltagem dada na figura 7.46