Enunciado

Utilize coordenadas cilíndricas

Calcule ∬ E z d V , onde E é limitado pelo paraboloide z = x 2 + y 2 e o plano z = 4 .

Passo 1

Temos uma integral tripla do tipo I. Isto é:

∬ D ∫ x 2 + y 2 4 z d z d A

Observem que o plano z = 4 limita a parte superior do nosso sólido, e não a inferior. A região D é obtida a partir da projeção do nosso sólido. Neste caso, basta fazer a interseção do plano com o paraboloide. Logo,

x 2 + y 2 = 4

Logo, temos um círculo de raio 2. Para passarmos para coordenadas cilíndricas, basta fazer:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

E os limites de integração serão: 0 ≤ r ≤ 2 e 0 ≤ θ ≤ 2 π . Portanto,

∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ r 2 4 z r d z d r d θ

Passo 2

Agora, vamos resolver a integral do nosso problema. Para isto, basta integrar cada uma das variáveis e aplicar o teorema fundamental do cálculo. Logo,

∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ r 2 4 z r d z d r d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 2 r z 2 2 r 2 4 d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r ⋅ 16 - r 4 2 d r d θ

∫ 0 2 π 16 r 2 2 - r 6 6 2 0 2 d θ = ∫ 0 2 π 64 2 - 64 6 2 d θ

64 π 3

Resposta

∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ r 2 4 z r d z d r d θ = 64 π 3

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