Enunciado

Ache a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada.

18. d L d t = K L 2 ln ⁡ t                     L 1 = - 1

Passo 1

Queremos resolver a equação d L d t = K L 2 ln ⁡ t , se conseguirmos deixar de um lado termos com somente L e do outro termos com somente t podemos dizer que esta é uma EDO separável, então podemos integrá-la de ambos os lados para encontrar L , dessa forma:

d L d t = K L 2 ln ⁡ t

d L K L 2 = ln ⁡ t d t

Passo 2

Agora podemos integrar do lado esquerdo em função de L e do lado direito em função de t , assim:

∫ d L K L 2 = ∫ ln ⁡ t d t  

Para resolver a integral do lado direito vamos precisar usar o método da integração por partes, relembrando: ∫ u d v = u v - ∫ v d u . Nesse caso chamaremos u = l n ⁡ ( t )     d v = d t . Então   d u = 1 t d t e v = t , usando a fórmula da integração por partes ficamos com

- 1 K L = t l n t - ∫ d t  

- 1 K L = t l n t - t + C

Nunca esqueça de que em uma integral indefinida sempre temos uma constante C .

Passo 3

Agora precisamos aplicar o problema de valor inicial para chegar a nossa resposta final.

L 1 = - 1

Isso quer dizer que quando temos t = 1 , nosso L = 1 . Vamos substituir esses números na equação que encontramos:

1 K = l n 1 - 1 + C

1 + 1 K = C

- 1 K L = t l n t - t + 1 + 1 K

L = - 1 K t l n t - K t + K + 1

Resposta

18. L = - 1 K t l n t - K t + K + 1  

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

x y ' = y + x e y / x
d y d x = x 2 - 1 y 2 + 1 , y - 1 = 1
e x + 1 d y d x = y - y e x
d y d x = x + y x - y
3 y 2 + 2 x y - 2 x y + x 2 d y d x = 0