Enunciado

Utilize uma ferramenta gráfica para encontrar os pontos críticos de f com precisão de três casas decimais. Em seguida, classifique o ponto crítico e determine o valor mais alto e o mais baixo do gráfico, se houver.

f x , y = 20   e - x 2 - y 2   s e n   3 x cos ⁡ 3 y ,             x ≤ 1     e     y ≤ 1

Passo 1

A questão pede para acharmos os máximos e mínimos locais da função dada. Para isso, vamos encontrar primeiro os pontos críticos e depois fazer o teste da segunda derivada!

Nesse problema, nossa função é

f x , y = 20   e - x 2 - y 2   s e n   3 x cos ⁡ 3 y

Neste caso, antes de começarmos o problema, vasmoa fazer um plot no intervalo considerado:

Por uma outra perspectiva:

Vemos que a função tem máximo e mínimos locais, mas também tem globais!

Passo 2

Derivando, encontramos

f x = 20   e - x 2 - y 2   ( - 2 x   s e n   3 x cos ⁡ 3 y + 3 cos ⁡ 3 x cos ⁡ 3 y )

f y = 20   e - x 2 - y 2   ( - 2 y   s e n   3 x cos ⁡ 3 y - 3   s e n   3 x   s e n   3 y )

Fazendo f x = f y = 0 , obtemos

- 2 x   s e n   3 x cos ⁡ 3 y + 3 cos ⁡ 3 x cos ⁡ 3 y = 0 - 2 y   s e n   3 x cos ⁡ 3 y - 3   s e n   3 x   s e n   3 y = 0

Da primeira equação, tiramos

cos ⁡ 3 y = 0             o u       tan ⁡ 3 x = 3 2 x

Da segunda equação:

s e n   3 x = 0         o u       tan ⁡ 3 y = - 2 y 3

Da equação tan ⁡ 3 x = 3 2 x , encontramos x = ± 0,430 . Já para a equação tan ⁡ 3 y = - 2 y 3 , achamos y = 0 .

Por outro lado, de s e n   3 x = 0 , achamos x = 0 , enquanto para cos ⁡ 3 y = 0 , achamos y = ± π 6 = ± 0,524 .

Assim, os pontos críticos são:

± 0,430 ,   0 ,           ( 0 ,   ± 0,524 )

Resposta

± 0,430 ,   0 ,           ( 0 ,   ± 0,524 )

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