Enunciado

Encontre a série de Maclaurin de f (através de qualquer método) e o seu raio de convergência. Faça o gráfico de f e os seus primeiros polinômios de Taylor no mesmo gráfico. O que você percebe sobre a relação entre esses polinômios e f ?

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a função:

f x = tg - 1 ⁡ x 3

Com o auxílio da Tabela 1, temos que:

tg - 1 ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1

Passo 2

Sendo assim, temos que:

tg - 1 ⁡ x 3 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 3 2 n + 1 2 n + 1 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n . x 6 n + 3 2 n + 1

= x 3 - 1 3 x 9 + 1 5 x 15 - 1 7 x 21 + …

Passo 3

A série para tg - 1 ⁡ x converge quando x 3 < 1 , com isso, seu raio de convergência é R = 1 . Dessa forma, o mesmo acontece para a série de f ( x ) , sendo assim, seu raio de convergência é:

R = 1

O gráfico que compara f e os primeiros polinômios de Taylor é mostrado a seguir:

Através do gráfico é possível notar que T n ( x ) se aproxima de f ( x ) próximo de zero conforme n aumenta.

Resposta

∑ n = 0 ∞ - 1 n . x 6 n + 3 2 n + 1

R = 1

Através do gráfico é possível notar que T n ( x ) se aproxima de f ( x ) próximo de zero conforme n aumenta.

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