Enunciado

Utilize uma ferramenta gráfica como no Exemplo 4 (ou o Método de Newton ou um determinador de raízes) para encontrar os pontos críticos de f com precisão de três casas decimais. Em seguida, classifique o ponto crítico e determine o valor mais alto e o mais baixo do gráfico.

f x , y = 5 - 10 x y - 4 x 2 + 3 y - y 4

Passo 1

Show de bola, galera....Vamos às contas...

Basicamente precisaremos calcular os seguintes valores: f x , f y , f x x , f x y   e   f y y . E aí, meus amigos, não tem mistério! Depois precisaremos calcular os pontos críticos da função ao fazer f x = 0   e   f y = 0 . Na sequência, usaremos o Teste da Derivada Segunda ao calcularmos D = f x x f x y f y x f y y e avaliarmos o seu sinal juntamente com o sinal de f x x .

Vamos lá?

Passo 2

Calculemos os pontos críticos de f ( x , y ) da seguinte forma:

∂ f ∂ x = 0 ∂ f ∂ y = 0   ∴   - 10 y - 8 x = 0 - 10 x + 3 - 4 y 3 = 0   ∴ x = - 5 4 y ↓ 31 2 - 4 y 3 = 0 ⇒ P o n t o   c r í t i c o - 1.96 ,   1.57

Passo 3

Calculemos o sinal de D = f x x f x y f y x f y y = - 8 - 10 - 10 - 12 y 2 e de f x x para o respectivo ponto crítico:

– Para x c , y c = - 1 . 96 ,   1.57 :

D = - 8 - 1 0 - 1 0 - 1 2 y 2 - 1.96 ,   1.57 = - 8 - 10 - 10 - 29.6 = 136 . 8 > 0

f x x - 1.96 ,   1.57 = - 8 < 0

Como D > 0 e f x x < 0 , x c , y c = - 1.96 ,   1.57  é um ponto de  máximo  local .

Passo 4

Show de bola, galera. Agora nós iremos apresentar o gráfico da função, só pra ver se o que calculamos está coerente.

Resposta

x c , y c = - 1.96 ,   1.57  é um ponto de máximo local

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Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e