Enunciado

Utilize um gráfico e/ou curvas de nível para estimar os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Em seguida, use o cálculo para achar esses valores precisamente.

f x , y = sen ⁡ x + sen ⁡ y + cos ⁡ x + y , 0 ≤ x ≤ π / 4 ,   0 ≤ y ≤ π / 4

Passo 1

Show de bola, galera. Nesse nosso primeiro passo nós iremos apresentar as curvas de nível da função. Em seguida, vamos calcular o que se pode observar dessas curvas, beleza?

Passo 2

Show de bola, galera....Vamos às contas...

Basicamente precisaremos calcular os seguintes valores: f x , f y , f x x , f x y   e   f y y . E aí, meus amigos, não tem mistério! No Passo 3 calcularemos os pontos críticos da função ao fazer f x = 0   e   f y = 0 . No Passo 4 usaremos o Teste da Derivada Segunda ao calcularmos D = f x x f x y f y x f y y e avaliarmos o seu sinal juntamente com o sinal de f x x .

Vamos lá?

Passo 3

Calculemos os pontos críticos de f ( x , y ) da seguinte forma:

∂ f ∂ x = 0 ∂ f ∂ y = 0   ∴   cos ⁡ x - sen ⁡ x + y = 0 cos ⁡ y - sen ⁡ x + y = 0   ∴

∴ cos ⁡ x = cos ⁡ y ⇒ P o n t o s   c r í t i c o s π 6 , π 6

Passo 4

Calculemos o sinal de D = f x x f x y f y x f y y = - sen ⁡ x - cos ⁡ x + y - cos ⁡ x + y - cos ⁡ x + y - sen ⁡ y - cos ⁡ x + y e de f x x para os respectivos pontos críticos:

– Para x c , y c = π 6 , π 6 :

D = - sen ⁡ x - cos ⁡ x + y - cos ⁡ x + y - cos ⁡ x + y - sen ⁡ y - cos ⁡ x + y π 6 , π 6 = - 1 - 1 2 - 1 2 - 1 = 3 4 > 0

f x x π 6 , π 6 = 3 4 > 0

Como D > 0 e f x x > 0 , concluímos que x c , y c = π 6 , π 6  é um ponto de mínimo local .

Resposta

π 6 , π 6  é um ponto de mínimo local

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Determine os valores de máximos e mínimos locais e pontos de sela da função x 2 + y 2 e y 2 - x 2