Enunciado

Utilize o grafo da árvore para escrever a Regra da Cadeia para o caso dado. Assuma que todas as funções sejam diferenciáveis.

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w = f x , y , z ,       o n d e         x = x t , u ,     y = y t , u ,       z = z ( t , u )

Passo 1

A função w tem três variáveis, logo uma derivada contém três somas. E cada variável pertencente a w possui mais duas variáveis fazendo com que w tenha duas derivadas. De modo que tenhamos o seguinte grafo.

Passo 2

As derivadas possíveis são:

∂ w ∂ t = ∂ w ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ w ∂ y ∂ y ∂ t + ∂ w ∂ z ∂ z ∂ t

∂ w ∂ u = ∂ w ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ w ∂ y ∂ y ∂ u + ∂ w ∂ z ∂ z ∂ u

Resposta

∂ w ∂ t = ∂ w ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ w ∂ y ∂ y ∂ t + ∂ w ∂ z ∂ z ∂ t

∂ w ∂ u = ∂ w ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ w ∂ y ∂ y ∂ u + ∂ w ∂ z ∂ z ∂ u

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