Enunciado

Determine as derivadas parciais de segunda ordem.

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f x , y = x 4 - 3 x 2 y 3

Passo 1

Existem três derivadas parciais de segunda ordem e que são iguais a:

f x x , f y y , f x y

A segunda derivada de x, a segunda derivada de y e uma derivada de y em relação a derivada de x , e elas são obtidas abaixo.

Começando pela primeira derivada em relação a x da função teremos:

f x = ∂ x 4 - 3 x 2 y 3 ∂ x = ∂ x 4 ∂ x - 3 y 3 ∂ x 2 ∂ x = 4 x 3 - 6 x y 3

Agora para a segunda derivada temos:

f x x = ∂ 4 x 3 - 6 x y 3 ∂ x = 4 ∂ x 3 ∂ x - 6 y 3 ∂ x ∂ x = 12 x 2 - 6 y 3

Aí a partir daqui podemos calcular f x y fazendo a derivada em relação a y de f x :

f x y = ∂ 4 x 3 - 6 x y 3 ∂ y = ∂ 4 x 3 ∂ y - 6 x ∂ y 3 ∂ y = 0 - 18 x y 2

Passo 2

Agora vamos fazer a derivada primeira em relação a y :

f y = ∂ x 4 - 3 x 2 y 3 ∂ y = ∂ x 4 ∂ y - 3 x 2 ∂ y 3 ∂ y = - 9 y 2 x 2

Agora fazendo a derivada segunda de y :

f y y = ∂ - 9 y 2 x 2 ∂ y = - 9 x 2 ∂ y 2 ∂ y = - 18 x 2 y

Se fizermos a derivada em relação a x de f y nós devemos encontrar o mesmo resultado de f x y , então só para confirmar.

f y x = ∂ - 9 y 2 x 2 ∂ x = - 9 y 2 ∂ x 2 ∂ x = - 18 y 2 x = f x y

Então tudo que fizemos está certinho!

Resposta

f x x = 12 x 2 - 6 y 3

f x y = f y x = - 18 x y 2

f y y = - 18 x 2 y

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Se z = f ( x , y ) tem derivadas parciais de 2 ª ª ordem contínuas e satisfaz a equação ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 ela é dita uma função harmônica. Verificar se as funções dadas são harmônicas.d) z
Encontrar: ∂ 2 f → ∂ x ² ,∂ 2 f → ∂ y ² ,∂ 2 f → ∂ x ∂ y ,∂ 3 f → ∂ x ² ∂ ye∂ 3 f → ∂ z ³ ² ² ² ³Das seguintes funções:c) f → x ,y ,z = 1 x , 1 y 2 ,x y z
Encontrar ∂ 2 f → ∂ x 2 P 0 + ∂ 2 f → ∂ y 2 P 0 - 4 ∂ 2 f → ∂ z 2 P 0 . Dados: f → x ,y ,z = x + y + z ,x + y + z 2 ,x + y + z 3eP 0 1 ,0 ,1
Determinar ∂ 3 f → ∂ x ∂ y ∂ z e ∂ 4 f → ∂ x ∂ z 2 ∂ y sendo f → x ,y ,z = x y 4 ,x z 3 + 1 ,x e y z .
Dada a função f → x ,y = x y z ,x y ,x 2 + z 2 , determinar ∂ 2 f → ∂ x 2 , ∂ 2 f → ∂ y 2 e ∂ 2 f → ∂ x ∂ y .