Enunciado

Utilize o grafo da árvore para escrever a Regra da Cadeia para o caso dado. Assuma que todas as funções sejam diferenciáveis.

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v = f p , q , r ,       o n d e         p = p x , y , z ,     q = q x , y , z ,           r = r ( x , y , z )

Passo 1

A função v tem três variáveis, logo uma derivada contém três somas. E cada variável pertencente a v possui mais três variáveis fazendo com que v tenha duas derivadas. De modo que tenhamos o seguinte grafo.

Passo 2

As derivadas possíveis são:

∂ v ∂ x = ∂ w ∂ p ∂ p ∂ x + ∂ w ∂ p ∂ q ∂ x + ∂ w ∂ p ∂ r ∂ x

∂ v ∂ y = ∂ w ∂ p ∂ p ∂ y + ∂ w ∂ p ∂ q ∂ x + ∂ w ∂ p ∂ r ∂ y

∂ v ∂ z = ∂ w ∂ p ∂ p ∂ z + ∂ w ∂ p ∂ q ∂ z + ∂ w ∂ p ∂ r ∂ z

Resposta

∂ v ∂ x = ∂ w ∂ p ∂ p ∂ x + ∂ w ∂ p ∂ q ∂ x + ∂ w ∂ p ∂ r ∂ x

∂ v ∂ y = ∂ w ∂ p ∂ p ∂ y + ∂ w ∂ p ∂ q ∂ x + ∂ w ∂ p ∂ r ∂ y

∂ v ∂ z = ∂ w ∂ p ∂ p ∂ z + ∂ w ∂ p ∂ q ∂ z + ∂ w ∂ p ∂ r ∂ z

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