Enunciado

Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência.

∫ 1 ∞ d x 1 + x 3

Passo 1

Vamos resolver essa pelo método da comparação direta. O método diz que se temos duas funções f ( x ) e g ( x ) , e 0 ≤ f x ≤ g ( x ) , se a maior converge, a menor também converge, e se a menor diverge a maior também diverge.

Vamos escolher funções adequadas para fazer o comparativo então...

Passo 2

Vamos escolher g x = 1 / x 3 e f x = 1 1 + x 3 .

Veja que: 0 ≤ 1 1 + x 3 ≤ 1 x 3 não é?!

Então a gente pode ver a convergência da mais simples para tentar provar a convergência da integral inicial, nossa f ( x ) .

Bom, sempre que temos uma integral do tipo ∫ a ∞ 1 x p   d x se p > 1 a integral converge, e se     p ≤ 1 , a integral diverge.

Então, a nossa que é ∫ 1 ∞ 1 x 3 d x converge, não é mesmo?

Sendo assim, se a função maior converge, a menor também converge.

∫ 1 ∞ d x 1 + x 3 converge.

Resposta

∫ 1 ∞ d x 1 + x 3 converge.

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