Enunciado

Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência.

∫ - π 2 π 2 cos ⁡ θ π - 2 θ 1 3 d θ

Passo 1

Façamos x = π - 2 θ vamos ter d x =   - 2   d θ → d θ =   - d x 2 , e chegamos em:

∫ - π 2 π 2 - cos ⁡ x 2 x 1 3   d x

Vamos resolver essa pelo método da comparação direta. O método diz que se temos duas funções f ( x ) e g ( x ) , e 0 ≤ f x ≤ g ( x ) , se a maior converge, a menor também converge, e se a menor diverge a maior também diverge.

Vamos escolher funções adequadas para fazer o comparativo então...

Passo 2

Seja f x = - cos ⁡ x 2 x 1 3     e g x = 1 2 x 1 3 . Observe que:

0 ≤   - cos ⁡ x 2 x 1 3   ≤ 1 2 x 1 3

Bom, vamos testar a função maior então:

∫ - π 2 π 2 1 2 x 1 3 d x = 3 x 2 3 4 π 2 - π 2 →   converge

Então, a função maior converge, logo a função inicial (menor) também converge.

Resposta

∫ - π 2 π 2 cos ⁡ θ π - 2 θ 1 3 d θ converge.

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