Enunciado

Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência.

∫ 0 ∞ d θ 1 + e θ

Passo 1

Vamos resolver essa pelo método da comparação direta. O método diz que se temos duas funções f ( x ) e g ( x ) , e 0 ≤ f x ≤ g ( x ) , se a maior converge, a menor também converge, e se a menor diverge a maior também diverge.

Vamos escolher funções adequadas para fazer o comparativo então...

Passo 2

Seja f x = 1 1 + e θ     (a função que queremos) e g x = 1 e θ . Observe que:

0 ≤   1 1 + e θ ≤ 1 e θ

Bom, vamos testar a função maior então:

∫ 0 ∞ 1 e θ   d θ =   - e - θ ] ∞ 0 =   lim b → ∞ ⁡ - e - θ ] b 0 = l i m b → ∞ - e - b + e 0 = 1

(observe que l i m b → ∞ - e - b =   l i m b → ∞ - 1 e b = 0 )

Então, a função maior converge, logo a função inicial (menor) também converge.

Resposta

∫ 0 ∞ d θ 1 + e θ converge.

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