Calcule a integral sem usar tabelas

∫ 1 ∞   d x x ⋅ x 2 - 1    

Passo 1

Se tratando de integrais impróprias, utilizamos uma mesma técnica com algumas variações

i :       ∫ a ∞ f ( x )   d x = lim b → ∞ ⁡ ∫ a b f x d x

i i :       ∫ - ∞ a f ( x )   d x = lim b → ∞ ⁡ ∫ b a f ( x )   d x

i i i :       ∫ - ∞ ∞ f ( x )   d x = ∫ - ∞ c f ( x )   d x + ∫ c ∞ f ( x )   d x   ,   c   é   u m   n ú m e r o   q u a l q u e r

Passo 2

Como o ponto x = 1 resulta em um problema no domínio da nossa função teremos que aplicar a variação ( i i i ) para resolvermos o problema, assim

∫ 1 ∞   d x x ⋅ x 2 - 1   = ∫ 1 2   d x x ⋅ x 2 - 1   + ∫ 2 ∞   d x x ⋅ x 2 - 1  

lim b → 1 + ⁡ ∫ b 2   d x x ⋅ x 2 - 1   + l i m c → ∞ ∫ 2 c   d x x ⋅ x 2 - 1   =

l i m b → 1 +   arcsec ⁡ x 2 b +   l i m c → ∞ arcsec ⁡ x c 2 =

l i m b → 1 +   arcsec ⁡ 2 - a r c s e c ⁡ ( b ) +   l i m c → ∞ arcsec ⁡ c - a r c s e c ⁡ ( 2 ) =

l i m b → 1 +   π 3 - arcsec ⁡ b +   l i m c → ∞ arcsec ⁡ c - π 3 =

  π 3 - 0 +   π 2 - π 3 = π 2

Resposta

π 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados