Enunciado

Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência.

∫ π ∞ 2 + cos ⁡ x x   d x

Passo 1

Vamos resolver essa pelo método da comparação direta. O método diz que se temos duas funções f ( x ) e g ( x ) , e 0 ≤ f x ≤ g ( x ) , se a maior converge, a menor também converge, e se a menor diverge a maior também diverge.

Vamos escolher funções adequadas para fazer o comparativo então...

Passo 2

Temos a nossa função f x = 2 + cos ⁡ x x e vamos comparar com uma função simples, g x = 1 x .

Veja que: 0 ≤ 1 x ≤ 2 + cos ⁡ x x .

Nesse caso, a função maior é f ( x ) e a menor é g x .

Vamos ver a convergência de g ( x ) então:

∫ 2 ∞ 1 x   d x

Bom, sempre que temos uma integral do tipo ∫ a ∞ 1 x p   d x se p > 1 a integral converge, e se     p ≤ 1 , a integral diverge.

Então, g ( x ) diverge. E, se a menor diverge, a maior também diverge.

∫ π ∞ 2 + cos ⁡ x x   d x diverge.

Resposta

∫ π ∞ 2 + cos ⁡ x x   d x diverge.

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