Enunciado

A integral

S i x = ∫ 0 x s e n t t   d t é chamada função seno-integral, tem aplicações importantes em óptica.

  1. Trace o gráfico do integrando s e n t t para t > 0 . A função seno-integral é sempre crescente ou decresce ? Você acha que   s i x = 0   para x > 0 ? Confira suas respostas fazendo o gráfico da função s i x para 0 ≤ x ≤ 25   .

Passo 1

Verificaremos, se f x possui raízes, ou seja, se o gráfico toca o eixo x .

Para isso faremos f x = 0 ,   perceba que como estamos com uma divisão de polinômios, precisamos apenas igualar o numerador a zero, ou seja,

s e n t t = 0 ⟹ s e n t = 0  

Sendo assim, x = π + 2 k π são raiz para f ( x ) .

Passo 2

Determinaremos agora f ' ( x ) e f ' ' ( x ) , para em seguida verificarmos se f ( x ) possui máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Dessa maneira temos que,

Pela regra do quociente,

f ' x = c o s t ⋅ t - c o s t   t 2

Calculando a segunda derivada utilizando a regra quociente e a regra da cadeia,

f ' ' t = - s e n t ⋅ t + c o s t ⋅ t + s e n t   ⋅ t 2 - c o s t ⋅ t - c o s t ⋅ 2 t t 4

Passo 3

Vamos agora identificar se f ' ( x ) possui pontos críticos

f ' x = c o s t ⋅ t - c o s t     t 2 = 0

c o s t ⋅ t - c o s t     t 2 = 0   ⟹ c o s t ⋅ t - c o s t = 0       ⟹ c o s t t - 1 = 0   ⟹ c o s t = 0   o u   t = 1  

Se c o s t = 0   ⟹ t = π 2 + 2 k π

Vamos analisar, o que acontece com os pontos críticos.

Perceba que , para valores dentro do intervalo ( - 1,0 )     , f ' ( x ) assume valores negativos (f é decrescente). E para valores dentro do intervalo ( 0,1 )         , f ' ( x ) irá assumir valores positivos (f é crescente). Logo, x = 0 é um ponto de máximo no intervalo de ( - 1,1 ) .

Já, para valores dentro do intervalo ( 1,2 )     , f ' ( x ) assume valores positivos crescente). E para valores dentro do intervalo ( 0,1 )         , f ' ( x ) irá assumir valores positivos (crescente). Logo, x = 1 não é um ponto de mínimo nem máximo no intervalo de ( 0,2 ) .

Vejamos que em 2 ,   π ,   f ' ( x ) assume valores positivos (f é crescente). E para valores dentro do intervalo ( π , 4 π )         , f ' ( x ) irá assumir valores negativos (f é decrescente). Logo, x = π é um máximo local no intervalo 2,4 π

Passo 4

Para finalizar verificaremos se f ( x ) possui assíntotas verticais e horizontais.

No que se refere as assíntotas horizontais temos que

lim x → ±  ∞ ⁡ f x = l i m x → ±   ∞ s e n t t = 0 , pela regra do confronto (já fizemos isso )

Logo, f x possui uma assíntota horizontal em     f ( x ) = 0

No que se refere as assíntotas verticais, perceba que apesar de f ( x ) não estar definida em x = 0 , este ponto não é uma assíntota vertical para f ( x ) , pois

lim x → 0 - ⁡ f x =   - ∞   l i m x → 0 + f x = ∞

Logo,   f x possui assíntotas verticais em x = 0 .

Resposta

Sim s i x = 0   para x > 0 . E a função não é sempre crescente e nem sempre decrescente.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. ∫ 0 ∞ x arctg ⁡ x 1 + x 2 2 d x
Seja f ( t ) a função densidade de probabilidade para o tempo que você leva para ir à escola de manhã, com t medido em minutos. Expresse as seguintes probabilidades como integrais. A probabilidade de
Seja f x = x e - x se x ≥ 0 e f x = 0 se x0 .Verifique que f é uma função densidade de probabilidade.Calcule P ( 1 ≤ X ≤ 2 ) .
Seja f x = k x ² ( 1 - x ) ² se 0 ≤ x ≤ 1 e f x = 0 se x0 ou x1 .Para qual valor de k a função f é uma função densidade de probabilidade?Para este valor de k , calcule P X ≥ 1 2 . Calcule a média.
Seja f x = c 1 + x 2 . Para qual valor de c esta é uma função densidade de probabilidade?Para este valor de c , encontre P ( - 1X1 ) .